Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 2 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn)

Phần 2 Giáo trình Toán cao cấp A3 tiếp tục giới thiệu đến bạn đọc nội dung từ chương 4 đến chương 6 về không gian vector, ánh xạ tuyến tính, dạng song tuyến tính và dạng toàn phương. Giáo trình được trình bày kết hợp giữa lý thuyết và bài tập, thiết kế bài tập sau mỗi chương giúp cho các bạn sinh viên và bạn đọc quan tâm đến vấn đề này dễ dàng nghiên cứu và học tập.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp A3: Phần 2 - TS. Đỗ Văn Nhơn (biên soạn) Chương 4 KHÔNG GIAN VECTOR I. KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN VECTOR: 1.Khái niệm trường: Ðịnh nghĩa: Cho tập hợp K có ít nhất 2 phần tử. Giả sử K được trang bị 2 phép toán đại số là cộng (+) và nhân (.). Khi đó K được gọi là một trường nếu những điều kiện sau đây được thỏa: (i) (tính giao hoán của phép toán +) (ii) (tính kết hợp đối với phép toán +) (iii) Trong tập hợp K tồn tại một phần tử không , ký hiệu là 0, sao cho (iv) Với mọi , tồn tại phần tử đối của a, ký hiệu là - a, sao cho (v) (tính giao hoán đối với phép toán.) (vi) (tính kết hợp đối với phép toán.) (vii) Trong tập K tồn tại phần tử đơn vị, ký hiệu là 1, sao cho: (viii) Với mọi tồn tại phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu là a-1, sao cho (ix) (tính phân phối của phép nhân đối với phép cộng) Nhận xét: Trong định nghĩa trên ta có thể kiểm chứng được rằng phần tử 0 và phần tử 1 của trường K là duy nhất, , phần tử - -1 a cũng duy nhất, a≠0, phần tử nghịch đảo a cũng duy nhất. Ví dụ về trường: 1) Tập hợp R các số hữu tỉ với các phép toán cộng (+) và nhân (.) thông thường là một trường. 2) Tập hợp R các số thực với các phép toán cộng (+) và nhân (.) thông thường là một trường. Tập hợp các số phức C với các phép toán (+) và (.) số phức cũng là một trường. 3) với các phép toán (+) và (.) dưới đây là một trường: 2. Ðịnh nghĩa không gian vector: Ðịnh nghĩa: Giả sử V là một tập hợp khác rỗng và K là một trường. Ta nói V là một không gian vector trên trường K hay là một K không gian vector nếu trên tập V ta có trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng và ký hiệu bởi dấu +) và có một phép nhân (.) mỗi với cho kết quả là một phần tử thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Tính giao hoán của phép cộng trên V: (ii) Tính kết hợp của phép cộng trên V: (iii) Tồn tại một phần tử không trong V, ký hiệu là 0, sao cho: (iv) Với mọi , tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là -v thoả mãn: v + (-v) = 0 (v) Với mọi , với mọi u và v thuộc V, ta có: (vi) (vii) (viii) Nhận xét: có thể dễ dàng thấy rằng phần tử 0 trong V là duy nhất; và với mỗi , phần tử -v cũng duy nhất. Các phần tử của không gian vector V được gọi là các vector. Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng. Trong trường hợp K = R (trường số thực) thì V được gọi là không gian vector thực. Nếu K = R thì ta gọi V là không gian vector phức. Từ phép cộng vector trên không gian vector V ta định nghĩa phép trừ (-) vector bằng công thức sau đây: u - v = u + (- v) Từ đó có thể chứng minh được tính chất phân phối đối với phép trừ: Sau đây là một số tính châ1t đơn giản của không gian vector có thể được suy ra dễ dàng từ định nghĩa. Tính chất: Các ví dụ về không gian vector: Ở trên chúng ta đã nêu lên định nghĩa tổng quát của một không gian vector trên trường K. Trường K được gọi là trường cơ sở. Trong các áp dụng và các lĩnh vực khác nhau các không gian vector có thể là những tập hợp rất khác nhau. Trong mục này sẽ nêu lên một số ví dụ quan trọng về không gian vector. Ví dụ 1: với K là một trường và , xét tập hợp gồm tất cả các bộ n phần tử của n K. Trên K , đã xét các phép toán được định nghĩa như sau: Với mọi và với mọi : Dễ dàng kiểm chứng rằng các phép toán này thoả mãn tất cả các tính chất nêu trong định nghĩa không gian vector. Vậy Kn là một không gian vector trên K. Trong giáo trình này chúng ta sẽ thường xuyên làm việc với các không gian vector Rn và Cn . Nhận xét: Tập hợp các vector tự do trong mặt phẳng với phép toán cộng 2 vector và phép toán nhân vector với số thực thông thường (đã được biết trong chương trình toán phổ thông) là một không gian vector trên trường số thực. Về mặt tính toán tọa độ vector trong mặt phẳng Oxy, có thể nói không gian vector này chính là không gian vector R2. Tương tự, tập hợp các vector tự do trong không gian là một không gian vector trên trường số thực. Đây cũng chính là không gian R3. Ví dụ 2: Với K=R hoặc C, đặt Mmxn(K) là tập hợp tất cả các ma trận có các phần tử thuộc K, trong đó m và n là 2 số nguyên dương cho trước. Tập hợp Mmxn(K) với phép cộng 2 ma trận và phép nhân số với ma trận thông thường là một không gian vector trên trường K. Ví dụ 3: Đặt Rn[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực có bậc lớn hơn hoặc bằng n, trong đó n là một số nguyên dương, và đặt R[x] là tập hợp tất cả các đa thức với hệ số thực. Với phép toán cộng 2 đa thức và phép toán nhân một số với đa thức thông thường thì R[x] và Rn[x] là các không gian vector trên R ...