Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 - Lê Đình Thúy

Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 gồm nội dung chương 3 đến chương 5 của giáo trình. Nội dung phàn này trình bày các vấn đề như ma trận và định thức, hệ phương trình tuyến tính, dạng toàn phương.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp cho các nhà kinh tế: Phần 2 - Lê Đình Thúy Chương 3: Ma irận và ơịnh thúb Ch TRẬN V À Đ Ị? §1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH ĐỐ! VỚỈ MA TRẬNI. CÁC KHÁI NĨÊM C ơ BẢN VỂ MA TR Ậ N a. K h c i n iệm m a trậnTrong chưcng 2 chúng ta đã nói đến khái niệm ma trận hệ số vàma trận mớ rộng của một hệ phưiíng trình tuyến tmh. Các bảngsố đó cho biết toàn bộ thông tin giúp ta tìm ra các ẩn số. Trongnhiều lĩnh vục khác, chẳng hạn như trong công tác thống kê vàcông tác kế toán, người ta thường trình bày dữ liệu dưới dạngcác bảng số, trong đó số liệu được xếp theo dòng và theo cột.Trong toán học ta gọi các bảng số như vậy là ma Irận.Định nghĩa: Ma trận là một bảng sô xếp theo dòng và theo cột.Một ma trận có in dòng và n cột được gọi là ma trận cấp m x n.Khi cho một ma trận ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc trònhoặc dấu nơoặc vuông. Ma trận cấp mxn có dạng tổng quát nhưsau: cl ị -) ^12 - a ./ í ^21 32n hoặc a ml . . . miì • • •Ta sẽ dùng C £ C chữ cái in hoa: A, B, c, ... để đặt tên các ma trận.Để gán tên cho một ma trận là A ta viết: Trưdhg Đại học Kinh tế Quốc dân TOẢNCAO CẨP CHO CẤC N ẢK HTỂ H IN aj 2 a In ^21 ^22 a A= ( 1. 1) a mí amnCác số trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. ở dạngtổng quát ( 1. 1) phần tử nằm trên dòng i và cột j được ký hiệu làa j j. Để mô tả vắn tắt, ta có thể dùng ký hiệu A= ( 1.2 ) mxnđể nói rằng A là một ma trận cấp mxn mà phần tử nằm trêndòng i và cột j được ký hiệu là a-ị. Cách viết ( 1.2) tương đươngvới cách viết ( 1. 1) và được dùng khi nói đến một ma trận tổngquát nào đó. Khi cấp của ma trận và các phần tử đã được xácđịnh bằng số, ta thường sử dụng cách viết dạng ( 1. 1).Ví dụ : 5 3 -1 A = -4 11 0là một ma trận cấp 2x3. Đối chiếu với ký hiệu tổng quát thì cácphần tử của A là: aji = 5, a ,2 = 3, 3)3 = -1 , 321 = ^22 - ‘23 = 0 . b. Đ ẳng thức ma trậnĐịnh nghĩa: Hai ma trận được coi là bằng nhơu khi và chỉ khichúng cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôimột bằng nhau.Để nói rằng hai ma trận A và B bằng nhau ta viết A = B. Chú ýrằng khái niệm ma trận bằng nhau chỉ áp dụng cho các ma trậncùng cấp. Trong tập hợp các ma trận cấp mxn, một đẳng thứcma trận tương đưomg với một hệ m.n đẳng thức số:106 Trưởng Đại học Kinh tế Quốc dàn Chuơng 3: Ma trận và ơịnh thức , ^ m Nn u m>n c. M a trận không và ma trận đôiM a trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0. Trong tậphợp tất cả các ma trận cấp mxn (m, n cố định) có một ma trậnkhông duy nhất được ký hiệu là , hoặc o (nếu cấp của matrận đã được xác định trước); 0 0 0 0 0 0 0 = 0 mxn = 0 0 0Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗiphần tử của nó là số đối của phần tử tương ứng của ma trận A.Ma trận đối của ma trận A được ký hiệu là -A .V í dụ: Ma trận đối của ma trận 53 - í A= -4 11 0là ma trận; -5 -3 1 -A = 4 -11 0 d. Hệ vectơ dòng hệ vectơ cột của ma trậnLý thuyết ma trận và lý thuyết về không gian vectơ có liên hệchặt chẽ với nhau. Để làm rõ mối quan hệ này, ta xét một matrận cấp mxn bất kỳ: Trường Đại học Kinh tế Quốc dân 10^ TOÁN CAO CẮP CHO CÁC NHẢ KINHTỂ In ^21 ^22 A L^mi ^m2Ta có thể xem mỗi dòng của ma trận A như một vectơ n chiéuvà mỗi cột của nó như một vectơ m chiều. ĩsTiư vậy, mỗi ma irậncấp mxn cho tương ứng một hệ vectơ dòng gồm m vectơ n chiềuvà một hệ vectơ cột gồm n vectơ m chiều.Khi sử dụng các thuật ngữ như hai dòng (cột) bằng nhau, tổngcủa các dòng (cột), tích của một đòng (cột) với một số, các dòng(cột) phụ thuộc tuyến tính v.v... ta hiểu các thuật ngữ đó như nóivề vectơ.Ngược lại, ta có thể xem xét các tính chất của một hệ veclơthông qua ma trận có hệ vectơ dòng (cột) là hệ vectơ đóTrong cuốn sách này ta dùng ký hiệu A để chỉ dòng thứ i của **ma trận Avà ký hiệu Aj để chỉ cột thứ j của nó.n . CÁC DẠNG MA TRẬN a. M a trận vuôngMa trận vuông là ma trận có số dòng và số cột bằng nhau. Mộtma trận có số dòng và số cột cùng bằng n được gọi là n a trậnvuông cấp n. Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát như sau: ^11 ^12 a In ^21 ^22 a 2n A a nỉ n2 a n n106 Trư ...