Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tập hợp và quan hệ; Hàm số và giới hạn; Đạo hàm và vi phân; Phép toán tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - 1 - ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Trần Hà Lan GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - 2 - LỜI NÓI ĐẦU Toán học được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống, xã hội. Các bài toán trong kinh tế, kế toán, các bài toán trong khoa học kỹ thuật, đã được giải nhằm phục vụ lợi ích con người. Toán học đóng vai trò quan trọng trong việc diễn tả các quy luật kinh tế. Trên thế giới toán học được ứng dụng trong nghiên cứu kinh tế ngày càng nhiều. Một ngành học được hình thành dựa trên sự kết hợp của hai ngành toán học và kinh tế học: Ngành kinh tế toán. Chính vì lý do đó, sinh viên các trường kinh tế đòi hỏi phải biết các kiến thức toán ngày càng một nhiều hơn và phải biết sử dụng các kiến thức đó để phân tích kinh tế, phân tích tình huống và nghiên cứu kinh tế. Để kịp thời phục vụ việc học tập của sinh viên, Khoa cơ sở - Trường Đại học Kinh tế Nghệ An đã tổ chức biên soạn cuốn giáo trình Toán cao cấp. Đây là giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng và hệ Đại học, dựa vào chương trình giảng dạy bộ môn Khoa học tự nhiên – Khoa cơ sở có thể lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ của mỗi hệ đào tạo. Trong giáo trình này, chúng tôi cố gắng trình bày kiến thức toán thật đơn giản nhưng không phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống của chúng. Những khái niệm Toán học cơ bản, những phương pháp cơ bản, những kết quả cơ bản của các chương đều được trình bày đầy đủ. Một số định lý không được chứng minh, nhưng ý nghĩa của những định lý quan trọng được giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa được đưa ra. Giáo trình gồm 9 chương: Chương 1: Tập hợp và quan hệ Chương 2: Hàm số và giới hạn Chương 3: Đạo hàm và vi phân Chương 4: Phép toán tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phương trình vi phân - 3 - Chương 7: Không gian vectơ Chương 8: Ma trận và định thức Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính Chương 1 trình bày tóm tắt những nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nói chung: tập hợp, các khái niệm cơ bản về phép toán hai ngôi trong tập hợp, khái niệm ánh xạ. Chương 2 trình bày những khái niệm cơ bản về hàm số và giới hạn, trong đó có nói đến việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ giữa các biến số kinh tế. Chương 3, chương 4 có một số kiến thức đã được đề cập ở bậc phổ thông, những kiến thức này chúng tôi trình bày một cách chính xác và có mở rộng. Những kiến thức mới được trình bày gọn nhưng kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ dàng lĩnh hội. Một vài ví dụ thực tế cũng được giới thiệu, qua đó sinh viên thấy được việc cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản nhất của chương nhằm phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu các môn học chuyên ngành. Chương 5 gồm những kiến thức mới chưa được học ở bậc phổ thông. Tên chương là “ Hàm số nhiều biến số ” nhưng nội dung chính trong chương cơ bản đề cập đến hàm số hai biến số. Chương 6 chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 và cấp 2. Mỗi dạng phương trình được nêu đều có các ví dụ minh họa để sinh viên biết cách giải khi nhận được dạng của phương trình. Chương 7 trình bày một số khái niệm cơ bản của không gian vectơ Chương 8, chương 9 trình bày những kiến thức cơ bản nhất về các khái niệm được nêu trong tên của chương. Các chương này gồm những kiến thức chưa được học ở bậc phổ thông nên được trình bày khá kỹ, sau mỗi mục đều có ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm được kiến thức và tạo lập kỹ năng vận dụng kiến thức để làm bài tập. Cuốn giáo trình này được biên soạn trong thời gian ngắn, chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất mong được sự góp ý của bạn đọc để cuốn sách ngày càng được hoàn thiện. Tác giả - 4 - CHƯƠNG 1. TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1.1. Tập hợp 1.1.1. Các khái niệm cơ bản 1.1.1.1. Tập hợp và phần tử Thuật ngữ “Tập hợp” được dùng rộng rãi trong toán học. Chúng ta thường nói về tập hợp các số nguyên, tập hợp các điểm trong mặt phẳng, tập hợp các nghiệm của phương trình, tập hợp các học sinh trong lớp học ... Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, nó được dùng làm cơ sở cho các khái niệm khác nhưng bản thân nó không được định nghĩa qua các khái niệm đơn giản hơn. Khi nói về tập hợp ta chỉ ra các đối tượng có tính chất nào đó. Chẳng hạn khi nói về tập hợp các số tự nhiên, các đối tượng của tập hợp là các số tự nhiên; khi nói về tập hợp các học sinh của một lớp học, các đối tượng của tập hợp là học sinh trong lớp học đó. Các đối tượng của tập hợp đã cho được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp bằng các chữ in hoa A, B, C  và ký hiệu các phần tử bằng các chữ in thường a, b, c  Để nói rằng a là một phần tử của tập hợp A ta dùng ký hiệu: a  A (đọc là: “ a thuộc A ”). Ngược lại nếu a không phải là phần tử của tập hợp A thì viết: a  A (đọc là “ a không thuộc A ”). Ví dụ 1.1: Ở trong chương trình phổ thông ta đã biết các tập hợp sau: Tập hợp  các số tự nhiên; Tập hợp  các số nguyên; Tập hợp  các số hữu tỉ; Tập hợp  các số thực. Cho tập hợp A nghĩa là xác định tất cả các phần tử của nó. Có hai cách cho tập hợp: Cách 1: Cho tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp. Ví dụ 1.2: +) Nếu A là tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 6 thì ta viết: A = {1; 2; 3; 4; 5}. +) Có thể liệt kê các phần tử của tập hợp  các số tự nhiên và tập  các số nguyên như sau:  = { 0; 1; 2; 3  }. ...