Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non): Phần 2

Phần 2 Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non) trình bày nội dung chương II và chương III. Chương II - Số tự nhiên, chương này đưa ra các khái niệm và các tính chất liên quan đến số tự nhiên như: bản số, tập hữu hạn, tập vô hạn, tập hợp số tự nhiên,... Sau khi đưa ra các khái niệm đó, chương này còn giới thiệu về quan hệ thứ tự và các phép toán trên tập hợp số tự nhiên. Chương III - Các hình hình học, chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về hình hình học, các hình hình học trong mặt phẳng và trong không gian cùng một số tính chất cơ bản của chúng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cơ sở (Dùng cho hệ đào tạo từ xa – ngành GD Mầm non): Phần 2 Chương II : SỐ TỰ NHIÊN A. NỘI DUNG BÀI GIẢNG Lý thuyết về số tự nhiên có thể coi là cửa ngõ của toán học, vì vậynhững hiểu biết tối thiểu về số tự nhiên là rất cần thiết. Tập hợp số tựnhiên có thể xây dựng bằng phương pháp tiên đề, tuy nhiên trong giáotrình này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc theo hướng số tự nhiên đượcxác định như là bản số của tập hợp hữu hạn. Điều đó vừa phù hợp vớiquá trình xuất hiện và hình thành khái niệm số tự nhiên trong hoạt độngthực tiễn của xã hội loài người, vừa phù hợp với việc hình thành kháiniệm số cho học sinh. Từ xa xưa, khi còn chưa biết khái niệm về số lượng, con ngườinguyên thủy do các nhu cầu của cuộc sống, đã biết so sánh số lượng giữacác tập hợp, đã dần dần dần nhận thức được khái niệm ít nhiều. Chẳng hạn, khi chuẩn bị chiến đấu, người tù trưởng bộ lạc phátcho mỗi chiến binh một vũ khí. Nếu chiến binh nào cũng được phát màsố vũ khí vẫn còn thì số vũ khí nhiều hơn số chiến binh. Ngược lại, nếucòn có chiến binh chưa được phát mà vũ khí đẫ hết thì số vũ khí ít hơnsố chiến binh. Trường hợp thứ ba là mọi chiến binh đều đã được phátmột vũ khí mà trong kho không còn vũ khí nào. Theo cách hiểu của chúng ta hiện nay thì ở trường hợp thứ ba,người tù trưởng đã thiết lập một tương ứng một – một giữa tập hợp cácvũ khí và tập hợp các chiến binh (tất nhiên họ chỉ thực hiện một cáchtrực giác). Ở trường hợp này đã có một song ánh giữa tập hợp các vũ khívà tập hợp các chiến binh. Sự đụng chạm thường xuyên đến nhu cầu so sánh (phân phối sốcác cho mọi người trong bộ lạc, số ngựa với các kỵ sĩ, ...) và sự tiếp xúcvới các hiện tượng tự nhiên như: mỗi người có hai mắt, hai tai, một bàntay có năm ngón, ... đã làm cho con người cổ xưa đi đến khái niệm về sốlượng, về số. Đầu tiên chỉ mới hình thành các con số nhỏ, đơn giản để phục vụnhu cầu đánh dấu các tập hợp như: đếm hai con mắt, hai cái tai, nămngón chân, ... Đó là việc hình thành các số tự nhiên đầu tiên : 1, 2, ... Dưới đây ta sẽ trình bày khái niệm về số tự nhiên, mô phỏng theosự hình thành của chúng trong lịch sử. 35 §1. TẬP HỢP TƯƠNG ĐƯƠNG 1.1. Tập hợp tương đương. Định nghĩa. Cho hai tập hợp A và B. Ta nói tập hợp A tươngđương với tập hợp B, ký hiệu là A  B, khi và và chỉ khi tồn tại một songánh từ A đến B. Ví dụ: 1) Cho A ={1, 2, 3, 4} và B = {a, b, c, d}. Ta thấy A  B vì có thể thiết lập một song ánh từ A đến B, chẳnghạn song ánh f cho bởi bảng 1 2 3 4  f :  a b c d  .   2) Cho A, B, C là ba điểm phân biệt không thẳng hàng. Gọi [AB],[AC] lần lượt là tập hợp điểm trên đoạn ABvà AC. Khi đó ta sẽ có [AB]  [AC] . A Thật vậy, ta thiết lập được ánh xạ f : [AB]  [AC] M  M’ sao cho MM’//BC. M M’ Dễ dàng chứng minh được f là một songánh. 1.2. Một số tính chất B C Tính chất 1. Quan hệ  nói ở định nghĩa 1.1 có các tính chất của một quan hệtương đương, nghĩa là với các tập A, B, C bất kỳ, ta có: a) Tính phản xạ: A  A, b) Tính đối xứng: nếu A  thì B  A, c) Tính bắc cầu: nếu A  B và B  C thì A  C. Chứng minh. a) A  A nhờ có ánh xạ đồng nhất 1A : A  A a  a. b) Nếu A  B thì sẽ tồn tại song ánh f : A  B. Khi đó có ánh xạ ngược f-1 : B  A cũng là song ánh, do đó B A. 36 c) Giả sử có A  B và B  C. Khi đó sẽ tồn tại các song ánh f : A B và g : B  C. Suy ra ánh xạ tích h = g◦f : A  C cũng là song ánh,vậy A  C. Nhận xét: Quan hệ  xác định ở trên có các tính chất của một quanhệ tương đương, vì vậy ta có thể gọi nó là quan hệ tương đương giữa cáctập hợp. Khi có A  B thì ta cũng có B  A và ta nói hai tập A và Btương đương với nhau. Tính chất 2. Với các tập A, B, A1, B1 ta có: a) Nếu A  A1, B  B1 thì A  B  A1  B1. b) Nếu A  A1, B  B1 và A  B = A1  B1 =  thì A  B  A1 B 1. Chứng minh. Vì A  A1, B  B1 nên sẽ có các song ánh: f : A  A1 và g : B B 1. Dễ thấy rằng các ánh xạ  và  xác định như sau:  : A  B  A1  B1 (a, b)  (a, b) = (f(a), g(b))  : A  B  A1  B1 f ( x ), x  A  x  (x) =  g( x ), xminh. là những song ánh. Từ đó ta suy ra điều cầnchứng B 1.3. Định lý Cantor. Cho A, B là các tập hợp tuỳ ý ...