Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông: Phần 1 - PGS.TS. Lê Bá Long

Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giải tích Fourier; Wavelet; Phép biến đổi laplace. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán học ứng dụng trong điện tử viễn thông: Phần 1 - PGS.TS. Lê Bá Long HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG PGS.TS. LÊ BÁ LONG Giáo trình TOÁN HỌC ỨNG DỤNG TRONG ĐIỆN TỬ VIỄN THÔNG (Dành cho học viên cao học chuyên ngành Điện tử-Viễn thông) Hà Nội, 2009 NỘI DUNG Phần 1 Chương 1: Giải tích Fourier Chương 2: Wavelet Chương 3: Phép biến đổi laplace Phần 2 Chương 4: Quá trình ngẫu nhiên, chuỗi Markov Chương 5: Quá trình dừng Chương 6: Quá trình Poisson Chương 7: Lý thuyết sắp hàng Phụ lục ¾ Phụ lục A: Biến đổi Z của dãy các tín hiệu thường gặp ¾ Phụ lục B: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Fourier ¾ Phụ lục C: Các cặp biến đổi Fourier thường gặp ¾ Phụ lục D: Báng tóm tắt các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace ¾ Phụ lục E: Biến đổi Laplace của các hàm thường gặp ¾ Phụ lục F: Giá trị hàm mật độ xác suất phân bố chuẩn tắc. Giá trị hàm phân bố chuẩn tắc Chương 1: Giải tích Fourier GIẢI TÍCH FOURIER Cuối thế kỷ 18 nhà toán học, nhà vật lý đồng thời là kỹ sư người Pháp tên Jean Baptiste Joseph Fourier đã có khám phá kỳ lạ. Trong một kết quả nghiên cứu của mình về phương trình đạo hàm riêng mô tả sự truyền nhiệt của vật thể, Fourier đã khẳng định rằng “mọi” hàm số đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của chuỗi vô hạn các hàm lượng giác. Ban đầu khẳng định của Fourier đã không được các nhà toán học cùng thời tin tưởng và chú ý đến. Tuy nhiên không lâu sau đó các nhà khoa học đã đánh giá cao khả năng ứng dụng và lĩnh vực ứng dụng rộng lớn của ý tưởng này. Phát hiện này của Fourier được xếp hạng “top ten” về thành tựu toán học trong mọi thời đại, trong danh sách này còn có khám phá của Newton về phép tính vi tích phân, của Riemann về hình học vi phân, và 70 năm sau có lý thuyết tương đối của Einstein. Giải tích Fourier là một thành phần không thể thiếu của toán học ứng dụng hiện đại, nó được ứng dụng rộng rãi trong toán lý thuyết, vật lý, kỹ thuật. Chẳng hạn, xử lý tín hiệu hiện đại bao gồm audio, tiếng nói, hình ảnh, video, dữ liệu địa chấn, truyền sóng vô tuyến, v.v …đều được đặt cơ sở trên giải tích Fourier và những dạng khác của nó. Nhiều công nghệ tiên tiến hiện đại bao gồm truyền hình, CD và DVD âm nhạc, phim video, đồ họa máy tính, xử lý ảnh, phân tích và lưu trữ dấu vân tay … theo cách này hay cách khác đều có sử dụng những dạng khác nhau của lý thuyết Fourier. Về mặt lý thuyết người ta có thể phân tích các tín hiệu âm thanh phát ra từ các nhạc cụ như: piano, violin, kèn trumpet, kèn oboe, trống …. thành chuỗi Fourier để tìm ra các tần số cơ bản (tone, overtone, …). Về mặt ứng dụng, lý thuyết Fourier còn là một công cụ hiệu quả của âm nhạc điện tử hiện đại; một nhạc cụ điện tử có thể được thiết kế sao cho có thể tổ hợp các tông sin và cosin thuần túy để phát ra các âm thanh kỳ diệu của nhạc cụ. Như vậy, cả hai cách tự nhiên và nhân tạo âm nhạc điện tử đều dựa vào các nguyên lý tổng quát của Fourier. Ý tưởng ban đầu của Fourier phân tích một hàm số tuần hoàn thành tổng của một chuỗi các hàm lượng giác được mở rộng thành biểu diễn một véc tơ của không gian Hilbert theo hệ trực chuẩn đầy đủ. Vì vậy nếu có một hệ trực chuẩn thì ta có một cách khai triển Fourier. Trong chương này ta xét những vấn đề chính của giải tích Fourier ƒ Không gian Hilbert ƒ Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier hữu hạn ƒ Phép biến đổi Fourier ƒ Phép biến đổi Fourier rời rạc và phép biến đổi Fourier nhanh. Phép biến đổi Fourier hữu hạn được phát triển trên ý tưởng của khai triển hàm số tuần hoàn thành chuỗi Fourier, trong đó mỗi hàm số hoàn toàn được xác định bởi các hệ số Fourier của nó và ngược lại. Có ba dạng của chuỗi Fourier: dạng cầu phương (công thức 1.24, 1.28), 3 Chương 1: Giải tích Fourier dạng cực (công thức 1.36) và dạng phức (công thức 1.37, 1.41, 1.42). Phần 1 của mục này sẽ trình bày ba dạng của chuỗi Fourier, các công thức liên hệ giữa chúng và kèm theo lời nhận xét nên sử dụng dạng nào trong mỗi trường hợp cụ thể. Trường hợp hàm không tuần hoàn phép biến đổi Fourier rời rạc được thay bằng phép biến đổi Fourier, phép biến đổi ngược duy nhất được xây dựng dựa vào công thức tích phân Fourier. Khi các hàm số biểu diễn cho các tín hiệu thì biến đổi Fourier của chúng được gọi là biểu diễn phổ. Tín hiệu tuần hoàn sẽ có phổ rời rạc, còn tín hiệu không tuần hoàn sẽ có phổ liên tục. Đối số của hàm tín hiệu là thời gian còn đối số của biến đổi Fourier của nó là tần số, vì vậy phép biến đổi Fourier còn được gọi là phép biến đổi biến miền thời gian về miền tần số. Trong thực tế ta thường phải tính toán giá trị số của các tín hiệu được rời rạc hoá bằng cách chọn mẫu tại một số hữu hạn các thời điểm, khi đó phổ tương ứng cũng nhận được tại một số hữu hạn các tần số bằng phép biến đổi Fourier rời rạc. Ngoài ra để thực hiện nhanh phép biến đổi Fourier rời rạc, người ta sử dụng các thuật toán biến đổi Fourier nhanh. Hướng ứng dụng vào viễn thông: Phân tích phổ, phân tích truyền dẫn tín hiệu, ghép kênh vô tuyến, ghép kênh quang, đánh giá chất lượng WDM... 1.1. KHÔNG GIAN HILBERT Khái niệm không gian Hilbert là sự mở rộng của khái niệm không gian Euclide, đó là không gian véc tơ hữu hạn chiều với tích vô hướng. Không gian Euclide đã được trang bị trong chương trình toán đại cương ở bậc đại học. 1.1.1. Tích vô hướng Khái niệm tích vô hướng của hai véc tơ của không gian véc tơ bất kỳ được khái quát từ tích vô hướng uv = u v cos(u ; v) . n Trong không gian véc tơ  tích vô hướng của hai véc tơ x = ( x1, x2 ,..., xn ) , y = ( ...