Giáo trình Toán rời rạc - Chương 4 Hàm Bool

Giáo trình toán rời rạc - chương 4: Đại số Boole để các bạn sinh viên ngành Công nghệ thông tin có tài liệu tham khảo, học tập và nâng cao kiến thức môn học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán rời rạc - Chương 4 Hàm Bool LOGO Chương 4Lê Văn Luyệnemail: lvluyen@yahoo.comTOÁN RỜI RẠC http://www.math.hcmus.edu.vn/~lvluyen/trr Chương 4Chương IV. Đại số BoolĐại Số BoolHàm BoolBiểu đồ karnaughMạch logicMở đầu Xét mạch điện như hình vẽTùy theo cách trạng thái cầu dao A, B, C mà ta sẽ có dòngđiện đi qua MN. Như vậy ta sẽ có bảng giá trị sau Mở đầu A B C MN 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1Câu hỏi: Khi mạch điện gồm nhiềucầu dao, làm sao ta có thể kiểm 1 0 0 1soát được. 1 0 1 1 1 1 0 1Giải pháp là đưa ra công thức, vớimỗi biến được xem như là một cầu 1 1 1 1dao 5 I. Đại Số BoolMột đại số Bool(A,,) là một tập hợp A   với hai phép toán , , tức là hai ánh xạ: : AA  A (x,y) xy và : AA  A (x,y)xythỏa 5 tính chất sau: 6I. Đại Số Bool - Tính giao hoán:  x, y A xy = yx; xy = yx; - Tính kết hợp:  x, y, z A (xy) z = x(y z); (xy) z = x (y z). - Tính phân phối :  x, y, z A x(y z) = (xy) (xz); x (y z) = (xy)  (xz). 7I. Đại Số Bool - Có các phần tử trung hòa 1 và 0: x A x1 = 1x = x; x0 = 0x = x. - Mọi phần tử đều có phần tử bù: x A,  xA, x  x = x  x = 0; x  x = x  x = 1. 8I. Đại Số BoolVí dụ. Xét F là tập hợp tất cả các dạng mệnh đề theo n biến p 1,p2,…,pn với hai phép toán hội , phép toán tuyển , trong đóta đồng nhất các dạng mệnh đề tương đương. Khi đó F làmột đại số Bool với phần tử 1 là hằng đúng 1, phần tử 0 làhằng sai 0, phần tử bù của dạng mệnh đề E là dạng mệnhđề bù E 9I. Đại Số BoolXét tập hợp B = {0, 1}. Trên B ta định nghĩa haiphép toán , như sau: Khi đó, B trở thành một đại số Bool 10II. Hàm BoolHàm Bool n biến là ánh xạ f : Bn  B , trong đó B = {0, 1}. Như vậy hàm Bool n biến là một hàm số có dạng :f = f(x1,x2,…,xn), trong đó mỗi biến trong x1, x2,…, xn chỉ nhậnhai giá trị 0, 1 và f nhận giá trị trong B = {0, 1}. Ký hiệu Fn để chỉ tập các hàm Bool biến. Ví dụ. Dạng mệnh đề E = E(p1,p2,…,pn) theo n biến p1, p2,…, pn là một hàm Bool n biến. 11Bảng chân trịXét hàm Bool n biến f(x1,x2,…,xn) Vì mỗi biến xi chỉ nhận hai giá trị 0, 1 nên chỉ có 2n trườnghợp của bộ biến (x1,x2,…,xn). Do đó, để mô tả f, ta có thể lập bảng gồm 2 n hàng ghi tấtcả các giá trị của f tùy theo 2n trường hợp của biến. Ta gọiđây là bảng chân trị của f 12Ví dụ Xét kết qủa f trong việc thông qua một quyết định dựavào 3 phiếu bầu x, y, z Mỗi phiếu chỉ lấy một trong hai giá trị: 1 (tán thành) hoặc0 (bác bỏ). Kết qủa f là 1 (thông qua quyết định) nếu được đa sốphiếu tán thành, là 0 (không thông qua quyết định) nếu đasố phiếu bác bỏ. Hàm BoolKhi đó f là hàm Bool theo 3 biến x, y, z có bảng chân trị nhưsau: x y z f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 13 14Các phép toán trên hàm BoolCác phép toán trên Fn được định nghĩa như sau:Phép cộng Bool :Với f, g  Fn ta định nghĩa tổng Bool của f và g: f  g = f + g – fg  0 1 Suy ra 0 0 1 1 1 1 15 Các phép toán trên hàm Boolx = (x1,x2,…,xn) Bn, (f  g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)Dễ thấy f  g  Fn và (f  g)(x) = max{f(x), g(x)} 16 Các phép toán trên hàm BoolPhép nhân Bool :Với f, g Fn ta định nghĩa tích Bool của f và g ...