Giáo trình Toán rời rạc: Phần 2 - Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyên Tô Thành

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn giáo trình "Toán rời rạc", phần 2 đề cập đến các lý thuyết đồ thị - Một cấu trúc rời rạc tìm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật và đời sống; lý thuyết hàm đại số lôgic - Cơ sở để nắm bắt các vấn đề phức tạp của kỹ thuật máy tính. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán rời rạc: Phần 2 - Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyên Tô Thành Chươỉìí’ I . Các khái ỉìiệtn cơỉxl/ì của /ý ĩlìKvứỉ dồ ílĩị 1 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN CỦA LÝ THUYẾT Đ ồ THI Lý thuyết đồ thị là một lĩnh vực nghiên cứu đã có lừ lâu và có nhiều ứng dụng hiện đại. N hững tư tưởng cơ bản của lý thuyết đồ thị được đề xuất vào những năm đầu của th ế kỷ 18 bởi nhà toán học lồi lạc người Thuỵ sỹ Leonhard Euler. Chính ông là người đã sử dụng đồ thị để giải bài toán nổi tiếng về các cái cầu ở thành phố K önigsberg. Đồ thị được sử dụng đê giải các bài loán trong nhiều lĩnh vực khác nhau. C hẳng hạn, đồ thị có thể sử dụng để xác định các mạch vòng trong vấn đề giải tích m ạch điện. Chúng ta có thể phân biệt các htíp chất hoá học hữu cơ khác nhau với cùng công thức phân tử nhưng khác nhau vể cấu trúc phân tử nhờ đồ thị. Chúng ta có thể xác định xem hai máy tính trong m ạng có thể trao đổi thông tin được với nhau hay không nhờ m ô hình đồ thị của m ạng máy lính. Đồ Ihị có trọng sô' trên các cạnh có thể sử dụng để giải các bài toán như: Tim đường di ngắn nhất giữa liai thành phố trong m ột m ạng giao thông. Chúng ta cũng còn sử dụng đổ thị để giải các bài toán về lập lịch, thời khoá biểu, và phân bố tần số cho các trạm phát thanh và truyền hình... 1.1. Định nghĩa đồ thị ĐỔ thị là m ột Cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh này. Chúng ta phân biệt các loại đổ thị khác nhau bởi kiểu và s ố lượng cạnh nối hai đỉnh nào đó của đổ thị. Đ ể có thể hình dung được tại sao lại cần đến các loại đồ thị khác nhau, chúng ta sẽ nêu ví dụ sử dụng ch^ịng để mô tả một mạng máy tính. G iả sử ta có m ột m ạng gồm 147 Phẩn 2. Lý thuyết đồ thị các m áy tính và các kênh điện thoại (gọi tắt là kênh thoại) nối các m áy tính này. Chúng ta có thể biểu d iễn các vị trí đặt m áy tính bởi các điểm và các kênh thoại nối chúng bởi các đoạn nối, xem hình 1. Hà tây Đ ồng nai H uế A n Giang H ìn h 1. Sơ đồ m ạng m áy tính N hận thấy rằng trong m ạng ở hình 1, giữa hai m áy bất kỳ chỉ có nhiều n h ất là m ột kênh thoại nối chúng, kênh thoại này cho phép liên lạc cả hai chiều và không có m áy tính nào lại được nối với chính nó. Sơ đồ m ạng m áy tính cho trong hình 1 được gọi là đơn đồ thị vô hướng. T a đi đến định nghĩa sau Đ ịn h n g h ĩa 1. Đ ơ n đồ thị vô hướng G = (V,E) hao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp không có th ứ tự gồm hai p hẩn tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Trong trường hợp giữa hai m áy tính nào đó thường xuyên phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai m áy này bởi nhiều kênh thoại. M ạng với đ a kênh thoại giữa các m áy được cho trong hình 2 . Hà tây Đ ổng nai H uế An Giang H ìn h 2. Sơ đồ m ạng m áy tính với đa kênh thoại Đ ịn h n g h ĩa 2. Đ a đ ổ thị vô hướng G = [V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp không có th ứ tự gồm hai p h ẩ n tử khác nhau của V gọi là cá c cạnh. H a i cạnh Ể| và Ê2 được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với m ột cặp đỉnh. 148 > Chương Ị. Các khái niệm cơ hản của /v ỉhuyết dồ thị Hà uìy Đ ổng nai Huế An Giang Khánh hoà ơ ____________ _ ^ , _____ L o n g a n Q u ả n g ngãi -p H ìn h 3. Sơ đồ m ạng m áy tính với kênh thông báo Rõ ràng mỗi đofỉì đồ thị đều là đa đồ thị, nhung không phải đ a đồ thị nào cũng là đơn đồ thị, vì trong đa đồ thị có thể có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối m ột cặp đỉnh nào đó. Trong m ạng m áy tính có thể có những kênh thoại nối một máy nào đó với chính nó (chẳng hạn với m ục đích thông báo). M ạng như vậy được cho trong hỉnh 3. K hi đó đa đổ thị không thể m ô tả được mạng như vậy, bởi vì có những khuyên (cạnh nối m ột đỉnh với chính nó). Trong trường hợp này chúng ta cần sử dụng đến khái niệm g iả đ ồ thị vô hướng, được định nghĩa như sau Đ ịnh n g h ĩa 3. G iả đ ồ ĩhị vỗ hưímg G = iy ,E ) bao gổm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp không có th ứ tự gôm hai phân tử {không nhất íhiết phải khác nhau) của V gọi là các cạnh. C ạnh e dược gọi lc) khuyên nếu nâ có dạng e=(u,u)> C ác kênh thoại trong mạng máy tính có thể chỉ cho phép truyền tin theo m ột chiều. Chẳng hạn, trong hình 4 máy chủ ở Hà nội chỉ có thể nhẠn tin từ các m áy ở địa phưcmg, có m ột số ...