Giáo trình Vi phân và phương trình đạo hàm riêng: Phần B - TS. Lê Văn Hạp

Giáo trình Vi phân và phương trình đạo hàm riêng - Phần B giới thiệu về Phương trình đạo hàm riêng với những kiến thức được trình bày trong 4 chương phân loại phương trình, phương trình loại eli, phương trình loại hyperbol, phương trình loại parabol. Cuối mỗi phần đều có phần hướng dẫn giải giúp người học củng cố kiến thức một cách có hệ thống.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Vi phân và phương trình đạo hàm riêng: Phần B - TS. Lê Văn Hạp PhÇn B Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng Ch−¬ng I – NhËp m«n . Ph©n lo¹i ph−¬ng tr×nh §1. C¸c ®Þnh nghÜa vµ vÝ dô1.1 C¸c ®Þnh nghÜa a) Mét ph−¬ng tr×nh liªn hÖ gi÷a c¸c biÕn ®éc lËp : x1, x2, …, xn ; c¸c Èn hµm u1(x1, …, xn), …,uN(x1, …, un) vµ c¸c ®¹o hµm riªng cña c¸c Èn hµm ®ã, gäi lµ mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng(PTDHR). VÝ dô ∂u ∂u x +y = 0; ∂x ∂y ∂2u ∂2u + = 0. ∂x 2 ∂y 2 D¹ng tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cña c¸c Èn hµm u1, …, uN ®èi víi c¸c biÕn®éc lËp : x1, …, xn lµ : ∂ k ui F(x1, …, xn, u1, …, uN, … k1 , …) = 0, (1.1) ∂x1 ...∂x nn k n trong ®ã i = 1, N , ki ∈ Z+ vµ ∑k i =1 i = k , cßn F lµ mét hµm cña nhiÒu biÕn. b) CÊp cña ph−¬ng tr×nh (1.1) lµ cÊp cao nhÊt cña ®¹o hµm cã mÆt trong ph−¬ng tr×nh (1.1).Mét ph−¬ng tr×nh kh«ng cã mÆt c¸c ®¹o hµm riªng th× kh«ng ph¶i lµ mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµmriªng. Ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp mét vµ cÊp hai cña Èn hµm u ®èi víi hai biÕn x, y cã d¹ng : ∂u ∂u F(x, y, u, , ) = 0, (1.2) ∂x ∂y ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u F(x, y, u, , , , , )=0 (1.3) ∂x ∂y ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 c) Ph−¬ng tr×nh (1.1) gäi lµ tuyÕn tÝnh nÕu F lµ mét hµm tuyÕn tÝnh ®èi víi c¸c Èn hµm u1, …,uN vµ c¸c ®¹o hµm riªng cña chóng cã mÆt trong ph−¬ng tr×nh. Ph−¬ng tr×nh kh«ng tuyÕn tÝnh gäilµ ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn. NÕu F chØ tuyÕn tÝnh ®èi víi c¸c ®¹o hµm riªng cÊp cao nhÊt th× ph−¬ngtr×nh (1.1) gäi lµ ph−¬ng tr×nh ¸ tuyÕn tÝnh.VÝ dô ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u ∂x 2 +2 + 2 + x2 ∂x∂y ∂y ∂x + y2 ∂y ( + x2 + y2 u = 0 , ) 74lµ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh cÊp hai cña u ®èi víi hai biÕn x, y. ∂ 2u ∂ 2u ∂2u x + 2 xy + y 2 + ( x + y ) u2 = 0 ∂x 2 ∂x∂y ∂ylµ ph−¬ng tr×nh ¸ tuyÕn tÝnh. d) HÖ (u1, …, uN) gäi lµ nghiÖm cña (1.1) nÕu khi thay hÖ ®ã vµo (1.1), ta ®−îc mét ®ång nhÊtthøc cña c¸c biÕn ®éc lËp.VÝ dô uxx + ( uxx − 2 ) uxy − uyy = 0 2 2cã nghiÖm lµ u(x, y) = x2 + y2.1.2 VÝ dô Ph−¬ng tr×nh dao ®éng cña mét sîi d©y. Trong mÆt ph¼ng (xOu), xÐt mét sîi d©y ab c¨ng th¼ng Ox . B»ng mét c¸ch nµo ®ã, ta lµm d©y rung®éng vµ nghiªn cøu quy luËt dao ®éng cña sîi d©y ab. Gi¶ sö d©y ab rÊt nhá ®Ó nã kh«ng c−ìng l¹i sù uèn vµ cã lùc c¨ng t−¬ng ®èi lín so víi träng l−îngcña d©y khiÕn ta bá qua yÕu tè träng l−îng cña d©y. Ta chØ xÐt dao ®éng ngang cña d©y, tøc lµ khi dao ®éng cña chÊt ®iÓm trªn d©y chuyÓn ®éngth¼ng gãc víi trôc Ox .Gäi u(x, t) lµ ®é lÖch cña d©y so víi vÞ trÝ c©n b»ng M(x) t¹i thêi ®iÓm t. 2 ∂u ⎛ ∂u ⎞Ta gi¶ thiÕt ®é lÖch u(x, t) nhá vµ ®¹o hµm rÊt nhá nªn cã thÓ bá qua l−îng ⎜ ⎟ . ∂x ⎝ ∂x ⎠§é dµi d©y b b l′ = ∫ 1 + ( ux ) dx ∫ dx = b − a , 2 a anãi c¸ch kh¸c, ta xem ®é dµi d©y kh«ng thay ®æi khi d©y dao ®éng. Nh− vËy, theo ®Þnh luËt Hook, lùc c¨ng T t¹i mäi vÞ trÝ ®Òu cã c−êng ®é kh«ng ®æi. KÝ hiÖulùc c¨ng t¹i M(x), øng víi thêi ®iÓm t lµ T(x, t). Ta cã : T(x, t) = T0, ∀x ∈ [a, b]. Gi¶ sö lùc ngoµi t¸c ®éng lªn sîi d©y song song víi trôc Ou vµ ph©n bè trªn mét ®¬n vÞ dµilµ F(x, t). Gäi p(x) lµ tØ träng dµi cña sîi d©y. Khèi l−îng d©y trong kho¶ng dx lµ : m = p(x)dx. 75 Theo ®Þnh luËt Newton : tæng c¸c lùc t¸c ®éng vµo sîi d©y b»ng khèi l−îng d©y nh©n víiqu¸n tÝnh cña sîi d©y : F = ma (*) Gäi α(x) lµ gãc hîp bëi trôc Ox vµ lùc c¨ng T h−íng theo tiÕp tuyÕn víi sîi d©y t¹i M(x).ChiÕu ®¼ng thøc (*) ...