Hạng của ma trận

Bài giảng tham khảo về toán hạng của ma trận và nghiệm đầy đủ của Ax=0, Ax=b
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hạng của ma trận BÀI GI NG TU N 5 H NG C A MA TR N VÀ NGHI M Y C A Ax = 0 , Ax = b PH M XUÂN NGM U: H phương trình Ax = b có th thu g n v m t h phương trình tuy n tính tương ương mà có sphương trình ít hơn. Ch ng h n: x1 − 2 x2 + x3 = 1  1 −2 1 1  1 −2 1 1      x1 − 2 x2 + x3 = 1− x1 + x2 + 2 x3 = −5 ⇔ − 1 1 2 − 5 ⇔ 0 − 1 3 − 4 ⇔  2 x − 5 x + 5 x = −2  2 − 5 5 − 2 0 0 0 0  − x2 + 3 x3 = −4 1 2 3     Ta th y nh ng hàng toàn 0 trong h phương trình có th b i. Câu h i t ra là: Kích thư c m × n c a ma tr n A có ph i là kích thư c g n nh t c a hphương trình Ax = b không? Làm th nào bi t ư c kích thư c th c h phương trình?5.1 H NG C A MA TR N I. nh nghĩa: H ng c a ma tr n A là s các tr . Ký hi u là r(A) (rank).Chú ý: (1) N u A c p m × n thì r(A) ≤ m, r(A) ≤ n hay r(A) ≤ min{m, n}.(2) Cho A c p n × n , thì |A| ≠ 0 ⇔ r(A) = n (vì A có n tr ).(3) tìm h ng c a A thì ưa ma tr n A v ma tr n b c thang U và tìm s tr . 1 1 2 3 − 1 2 0 Ví d 1: Tìm h ng c a (a) A = 2 2 8 10 (b) B =  1 3 m  tùy theo m     3 3 10  13   2 6 4   1 1 2 3 1 1 2 3Gi i: (a) A → 0 0 4 4   → U = 0 0 4  4 , nên r(A) = 2.  0 0 4 4   0 0 0  0 (b) S: m = 2 : r ( B ) = 2, m ≠ 2 : r ( B) = 3 1 − 2 4 Ví d 2: Tìm h ng c a A =   . Nh n xét các c t c a A và bi u di n A qua tích 2 véc tơ. 4 − 8 16 1 − 2 4Gi i : A →   ⇒ r ( A) = 1 . 0 0 0 Nh n xét: các hàng, các c t t l nhau. Bi u di n A theo tích c a 1 c t v i 1 véc tơ là h s t l v i c t ó. 1 − 2 4   − 2   1 Ch n c t 2 và véc tơ h s t l c t 2 là (−1/2, 1, −2). Khi ó : A =   =  − 8   − 2 1 − 2 4 − 8 16     TChú ý: (4) N u r(A) = 1 thì A= u.v II. nh nghĩa : + A g i là có h ng hàng y n u m i hàng c a nó u có tr , t c là r =m. + A g i là có h ng c t y n u m i c t c a nó u có tr , t c là r = n. + C t ch a tr g i là c t tr và bi n c a c t ó g i là bi n tr . + C t không có tr g i là c t t do và bi n c a c t này là bi n t do. + Hàng ch a tr g i là hàng tr .Ví d 3: Xác nh ma tr n nào sau ây có h ng c t y, h ng hàng y và tìm bi n tr , bi n t do c a nó 1 2 0 1 − 2 2 3 − 1 0 1 − 2 0 A=  , B = 0 − 1 3 ,   C = 0 3  ,   D=  0 1 6  0 0 2 0 0  0 0 3 1      1Chú ý: (5) N u A có h ng c t y thì Ax = 0 có nghi m duy nh t x = 0. N u A có h ng hàng y và m < n thì Ax = 0 có vô s nghi m.5.2 NGHI M C BI T , NGHI M Y C A Ax = 0.  x1 + x 2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0 Ví d 4: Gi i h 2 x1 + 2 x 2 + 8 x3 + 10 x 4 = 0 3 x + 3 x + 10 x + 13 x = 0  1 2 3 4 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0 1 1 2 3 0  2 2 8 10 0 → 0 0 4 4 0 → 0 0Gi i : [ A | 0] =  4 4 0 ...