Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân

Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN.I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phương pháp chứng minh quy nạp:Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dươn n ≥ p ( p  N‫ ٭‬cho trước ) ta cần thực hiện 2 bước cơ bản : 
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ thống kiến thức cơ bản chương Dãy số, Cấp số cộng, cấp số nhân Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm Đại số & Giải tích 11. : Tiểu luận HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CHƢƠNGDÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. Nguyễn Công Tuấn . Người thực hiện : Lớp : A6Chương 3 : DÃY SỐ . CẤP SỐ CỘNG & CẤP SỐ NHÂN. I.Kiến thức cần nhớ : 1. Phương pháp chứng minh quy nạp: Để chứng minh 1 mệnh đề chứa biến F(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dươn n ≥ p ( p  N‫ ٭‬cho trước ) ta cần thực hiện 2 bước cơ bản :  Bước 1: Chứng minh F(n) là một mệnh đề đúng khi n = p.  Bước 2 : Với k là số nguyên dương tuỳ ý , xuất phát từ giả thiết F(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta đi chứng minh F(n) đúng đến n = k + 1. VD1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , ta luôn có: 1.2 + 2.5 + … +n(3n – 1 ) = n 2 ( n + 1). (*) Giải :  Với n = 1 , ta có : 1(3.1 – 1) = 1 (1 + 1)  (*) đúng với n = 1.  Giả sử (*) đúng với n = k , k  N*, tức là : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k- 1) = k 2 ( k + 1), Ta sẽ chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là : 1.2 + 2.5 +…+ (k + 1)(3k + 2) = k  1 ( k + 2). 2 Thật vậy , từ giả thiết quy nạp, ta có : 1.2 + 2.5 + …+ k(3k – 1 ) + (k + 1)(3k + 2) = k 2  k  1 + (k + 1)(3k + 2) = (k + 1)( k 2 + 3k +2) = (k + 1)(k + 1)(k + 2) = k  1 (k + 2).  ĐPCM . 2 VD2: Chứng minh rằng : u n = 13n  1 chia hết cho 6  n  N*.(1) Giải :  Khi n = 1, ta có : u n = 13 – 1 = 12  6  1 đúng .  Giả sử rằng (1) đúng với n = k ( k  N* , k ≥ 1) tức là : 13k  16  Ta chứng minh rằng (1) đúng tới n = k + 1, tức là : 13k 1  16   Thật vậy , ta có : 13k 1  1 = 13k .13  13  12 = 13 13k  1  12  6  ĐPCM. 2. Dãy số : a) Các định nghĩa : Dãy số vô hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*. Dãy số hữu hạn : là một hàm số xác định trên tập hợp m số nguyên dương đầu tiên ( m là số nguyên dương cho trước). Dãy số tăng : u n  là dãy số tăng  n, u n1  u n > 0. Dãy số giảm : u n  là dãy số giảm  n, u n1  u n < 0. Dãy số không đổi : u n  là dãy số không đổi  n, u n1  u n = 0. Dãy số bị chặn trên : u n  là dãy số bị chặn trên nếu  M: u n  M ,  n  N*. Dãy số bị chặn dưới : u n  là dãy số bị chặn dưới nếu  m: u n  m,  n  N*. Dãy số bị chặn : là dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới . b) VD: 1) Cho dãy u n  với u n = n  1 .Chứng minh u n là dãy số tăng. 3 Ta có : u n1  u n = n  2  n  1 = 3n 2  9n  7 > 0,  n  N* 3 3  Dãy số tăng. 5n  6 2) Cho dãy số u n  với u n = . Chứng minh u n là dãy số giảm. 6n  5 5n  11 5n  6  11 Ta có: u n1  u n =  < 0,  n  N* = 6n  116n  5 6n  11 6n  5  Dãy số giảm. n2 1 3) Chứng minh rằng dãy v n  với v n = , là dãy số bị chặn. 2n 2  3 1  2n 2  2  1  51 5 Ta có : v n =  2  2 n  3  = 2 1  2 n 2  3  = 2  2 2 n 2  3 .      2  1 1  . Do đó  -2 ≤ v n ≤ 1 (  n  1). Dễ thấy  n  N* , thì  1  2 2n  3 5 Vì vậy, v n  là dãy số bị chặn. 3. ...