Hướng dẫn khảo sát hàm số và vẽ đồ thị

Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hướng dẫn khảo sát hàm số và vẽ đồ thị Môn Toánwww.truongthi.com.vn KHẢO SÁT H ÀM SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊGiải bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cần tiến hành các bước sau1) Tìm tập xác định, xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn.Nếu hàm số chẵn hay lẻ chỉ cần khảo sát x ≥ 0, với x < 0 hàm số có tính đốixứng.Nếu hàm tuần hoàn thì chỉ cần xét trên một chu kì.2) Tính y’, y”Xét dấu y’ để tìm khoảng đơn điệu.Xét dấu y” để tìm các khoảng lồi lõm, điểm uốn.3) Tìm các điểm cực đại, cực tiểu, điểm uốnTìm các đường tiệm cận.Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục.4) Lập bảng biến thiên.5) Vẽ đồ thị.Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), chỉ rõ các điểm đặc biệt (cực đại, cực tiểu,điểm uốn, các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).Chú ý nếu hàm y = f(x) chẵn thì đồ thị nhận trục oy làm trục đối xứng, cònnếu hàm y = f(x) lẻ thì đồ thị có tâm đối xứng là gốc tọa độ.1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2 a≠0a) Hàm bậc hai : y = ax + bx + c 2 4ac − b 2  bTa có y = a  x + + 2a    4a 2Đồ thị đường parabol được suy từ đồ thị hàm y = ax bằng phép tịnh tiến r  b 4ac − b 2 song song theo véctơ r =  − . ,  2a  4a   4ac − b 2 bVới a > 0, min y = đạt được tại x = − . Hàm tăng trên 4a 2ab   b − 2a , +∞  , giảm trên  −∞, − 2a  .    4ac − b 2 bVới a < 0, max y = , đạt được tại x = − . Hàm tăng trên 4a 2a( −∞, −b / 2a ) , giảm trên ( −b / 2a, +∞ ) . 3 2 a ≠ 0.b) Hàm bậc ba: y = f(x) = ax + bx + cx + d− Tập xác định (− ∞, + ∞) 2 2− Ta có y’ = 3 ax + 2bx + c, ∆’y’ = b − 3 acy ” = 6 ax + 2 bNếu a > 0 thì 2+ Với b − 3ac < 0, y’ > 0 với mọi x, khi đó hàm luôn đồng biến. 2+ Với b − 3ac > 0, phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 vày’ > 0 ⇔ x ∉ [x1, x2].Hàm số tăng (giảm) trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) (tương ứng, trên (x1, x2)).Điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, y(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)).Nếu a < 0 thì 2+ Với b − 3ac < 0, y’ < 0 với ∀x, hàm y luôn nghịch biến. 12 Môn Toánwww.truongthi.com.vn 2+ Với b − 3ac > 0, tương tự ta cũng cóHàm y luôn nghịch biến trên (−∞, x1) và (x2, + ∞) y đồng biến trên (x1, x2).Điểm cực tiểu (cực đại) (x1, f(x1)) (tương ứng (x2, f(x2)).− Điểm uốn: y” = 0 ⇔ x = − b/3a, điểm uốn là (−b/3a, f(−b/3a)).− Tâm đối xứng (−b/3a, f(−b/3a)) cũng là điểm uốn. ax + bc) Hàm phân thức: y = ,c ≠ 0 cx + d a bc − ad 1Ta có y = + c2 x + d c c a− Nếu bc − ad = 0 thì y ≡ , x ≠ − d/c. c− Nếu bc − ad ≠ 0 thì đồ thị hàm số được suy ra từ đồ thị hàm số bc − ad k với k =y= c2 xbằng phép tịnh tiến theo véctơrr = (−d/c, a/c).Đồ thị có hai tiệm cận x = − d/c và y = a/c. ax 2 + bx + cd) Hàm phân thức: y = f ( x ) = ,a≠0 x+dTa có ad2 − bd + cf(x) = ax + ( b − ad ) + x+dTập xác định R {− d} a (x + d) − m 2 2y = , m = ad − bd + c (x + d) 2− Nếu m = 0 thì y = ax + (b − ad), x ≠ − d− Nếu am < 0 thì+ Với a > 0, y’ > 0 (∀ x ≠ −d), hàm đồng biến trên (−∞, −d), (−d, +∞).+ Với a < 0, y’ < 0 (x ≠ −d), hàm nghịch biến trên (− ∞, −d), (−d, +∞). m− Nếu am > 0 thì phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1, 2 = −d m a+ Nếu a > 0 thì hàm tăng trên (−∞, x1), (x2, +∞) giảm trên (x1, − d), (−d, x2)các điểm cực đại (cực tiểu) là (x1, 2ax1 + b), (tương ứng, (x2, 2ax2 + b)+ Nếu a < 0 thì hàm tăng trên (x1, − d1), (−d1, x2) và ...