Kế hoạch bài giảng: Hình giải tích và đại số tuyến tính - PGS TS Nguyễn Xuân Viên

Kế hoạch giảng dạy: Hình giải tích và đại số tuyến tính được PGS TS Nguyễn Xuân Viên biên soạn dựa trên cơ sở là đề cương môn học và giáo án. Tài liệu này gồm 20 bài giảng có nội dung liên quan đến giải tích và đại số tuyến tính. Đại số tuyến tính là một ngành toán học nghiên cứu các phương trình tuyến tính và sự biến đổi giữa chúng.Ngoài ra ngành toán học này còn nghiên cứu về không gian vectơ, hệ phương trình tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính giữa chúng. Đại số tuyến tính được sử dụng nhiều trong toán học, như trong đại số đại cương, giải tích hàm, hình học giải tích... để giải các bài toán như phép quay trong không gian, nội suy...Tài liệu dùng để tham khảo dành cho giáo viên, sinh viên chuyên ngành toán học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kế hoạch bài giảng: Hình giải tích và đại số tuyến tính - PGS TS Nguyễn Xuân Viên KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG MÔN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Cơ sở của kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án) Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên Bài 1. I.1. Logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số I.1.1. Logic mệnh đề và vị từ: Định nghĩa mệnh đề, các phép toán trên mệnh đề: ∨ ; ∧ ; ⇒ ; ⇔ ; ̅ . Mệnh đề hằng đúng và định lý, 7 định lý quan trọng nhất của logic mệnh đề: tự đọc mục d) Giáo trình 1 (GTr1). Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định của vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14. Ví dụ: (Hàm ( ) xác định trong lân cận điểm = là hàm liên tục tại x = a) ⇔ ∀( > 0)∃( > 0) ∀ (| − | < ) ⇒ | ( ) − ( )| < . Từ đó (Hàm ( ) xác định trong lân cận điểm = là hàm không liên tục tại x = ⇔ ∃( > 0)∀( > 0) ∃ (| − | < ) ∧ | ( ) − ( )| ≥ I.1.2. Tập hợp và ánh xạ: Khái niệm tập hợp: tập hợp và phần tử. Các phép toán trên tập hợp, 6 tính chất cơ bản c1- c6 của các phép toán trên tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18. Quan hệ thứ tự từng phần. Qui nạp toán học: có chứng minh (tr.18-21): Khẳng định ( ) phụ thuộc số tự nhiên n đúng cho mọi ≥ khi và chỉ khi thỏa mãn 2 điều kiện: i) ( ) đúng. ii) Từ ( ) đúng với ≥ suy ra Từ ( + 1) đúng. Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, các ví dụ. Toàn ánh, đơn ánh, song ánh. Tập tương đương; tập đếm được, tập continum. Định lý tồn tại ánh xạ ngược: có chứng minh. I.1.3. Sơ lược về cấu trúc đại số: Định nghĩa phép toán trong ∘ của tập A. Định nghĩa phép toán ∘ của tập A có tính kết hợp. Phần tử trung hòa ; phần tử nghịch đảo của một phần tử a trong A. Tính duy nhất của , của . Nhóm G, nhóm cộng 〈 ; +; 0〉, nhóm Abel, nhóm nhân 〈 ; . ; 〉; nhóm nhân giao hoán 〈 ; . ; 1〉. Khái niệm vành 〈 ; +,0; . 〉. Các vành số quan trọng: vành số nguyên ℤ, các vành ℝ[ ] - tất cả các đa thức hệ số thực, ℝ[ ] – vành tất cả các đa thức P(x) hệ số thực có bậc ( )≤ . 1 Khái niệm trường 〈 ; +,0; . ,1〉. Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ, trường số hữu tỷ ℚ. Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, các phép toán trên số phức. Mặt phẳng phức, dạng lượng giác của số phức. Công thức Mauvra. Căn bậc n của số phức: phát biểu và chứng minh định lý về căn bậc n của số phức: Căn bậc n của số phức = ( + ) có đúng n giá trị , = 0,1,2, … , − 1 cho bởi công thức + 2 + 2 = √ + Các ví dụ về căn bậc n của số phức. Ý nghĩa hình học của căn bậc n của số phức z: n số phức , = 0,1,2, … , − 1 là căn bậc n của số phức z tạo thành n đỉnh của một n- giác đều trên đường tròn bán kính = | | với một đỉnh ứng với số phức = √ + . Trong HGT & ĐSTT trường là một trong hai trường cố định: trường số thực ℝ hoặc trường số phức ℂ. I.2. Ma trận I.2.1. Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trên trường … … = × = … , ∈ … ma trận vuông cấp n trên trường … … = = … , ∈ … , ( ) – tập tất cả các ma trận cấp (m,n) trên trường ( ) – tập tất cả các ma trận vuông cấp n trên trường Ma trận đường chéo 0 … 0 0 … 0 = , … 0 0 … còn ký hiệu là: = ( , ,…, ) Ma trận tam giác trên là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía dưới đường chéo đều bằng 0: 2 … 0 … = … 0 0 … Ma trận tam giác dưới là ma trân vuông mà tất cả các phần tử ở phía trên đường chéo đều bằng 0: 0 … 0 … 0 = … … 1 ế = Ma trận đơn vị = = (1,1, … ,1); trong đó = là ký 0 ...