Khai thác vẻ đẹp toán học thông qua một số bài tập về dãy số

Bài viết đi sâu khai thác vẻ đẹp toán học qua một số ví dụ về dãy số có quy luật. Các ví dụ này được khai thác theo nhiều hướng khác nhau, trong đó chú trọng chứng minh không dùng lời. Qua đó, học sinh thấy được cái hay, cái đẹp của toán học và giúp các em yêu thích học toán hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Khai thác vẻ đẹp toán học thông qua một số bài tập về dãy sốVJETạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 33-35KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DÃY SỐTrần Đình Châu - Bộ Giáo dục và Đào tạoĐặng Thị Thu Thủy - Viện Khoa học Giáo dục Việt NamNgày nhận bài: 02/11/2017; ngày sửa chữa: 21/11/2017; ngày duyệt đăng: 07/12/2017.Abstract: The article explores beauty of mathematics through some examples of rule sequences.These examples are explained in various methodologies, focusing on proof without words.Thereby the students see the art of Mathematics and learn this subject better.Keywords: Beauty of mathematics, sequences, problems.1. Mở đầuTheo Bertrand Russell: Toán học không chỉ sở hữuchân lí mà còn ẩn chứa bên trong đó vẻ đẹp tối thượng,một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc, giống như một bứcđiêu khắc, thuần khiết tinh diệu và có khả năng đạt đếnsự hoàn hảo chặt chẽ mà chỉ có thứ nghệ thuật vĩ đại nhấtmới có thể thể hiện [1].Vẻ đẹp trong toán học cũng gần như vẻ đẹp củanhững bức tranh trừu tượng; xét ở góc độ nào đó, toánhọc phản ánh vẻ đẹp của thế giới mà chúng ta đang sống.Học sinh (HS) tìm hiểu vẻ đẹp toán học để thêm yêu mônToán và cuộc sống xung quanh. Nhiều HS sợ học toán vìnghĩ rằng toán học khô khan (chỉ gồm những con số, hìnhvẽ, công thức,...). Bài viết khai thác một số bài tập về dãysố theo nhiều hướng khác nhau, trong đó chú trọng cáchchứng minh không dùng lời, qua đó góp phần tích cựchóa hoạt động nhận thức của HS, giúp các em yêu thíchhọc môn Toán hơn.2. Nội dung nghiên cứuTrong dạy học môn Toán, có thể chú trọng khai thácvẻ đẹp toán học thông qua một số hướng như: Khai thácnhiều cách giải bài toán; Thay đổi yêu cầu bài toán; Mởrộng bài toán; Chứng minh không dùng lời (dùng hìnhvẽ); Khai thác ứng dụng thực tiễn của toán học; Lịch sửphát minh toán học; Các bài toán vui, trò chơi toánhọc,...Khai thác vẻ đẹp của toán học giúp HS thấy được cáihay, cái đẹp của toán học và sự gắn kết giữa toán học vớithực tiễn. Qua đó, góp phần giáo dục toàn diện cho HSthông qua dạy học môn Toán như: rèn luyện tính kiên trì,tỉ mỉ, tăng cường kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin,khả năng hội họa, phát triển năng lực giải quyết vấn đềvà sáng tạo, năng lực thẩm mĩ, tập dượt nghiên cứu khoahọc,... giúp các em thấy được sự thú vị trong toán học,yêu thích học tập môn Toán hơn.Ví dụ 1: Tính tổng sau:1 1 1 111A    2 4 8 16 32 6433Với bài tập này, ta có thể khai thác theo nhiều hướngkhác nhau:Hướng 1: Khai thác nhiều cách giải bài toán. Với HSlớp 6, các em có thể tính được tổng trên bằng nhiều cáchnhư: quy đồng mẫu số, hoặc cách giải ngắn gọn hơn làtính hiệu 2A - A, suy ra kết quả.HS có thể sử dụng phương pháp diện tích, biểu diễncác phân số trong một hình vuông có cạnh bằng 1, từ đódễ dàng tính được A. Hình 1 dưới đây là một trong cáccách giải bài toán mà không cần dùng lời.141211611816432Hình 1HS dễ dàng tính được diện tích phần không tô màubằng diện tích hình vuông có cạnh bằng 1, trừ đi diện tíchphần tô màu, từ đó thu được kết quả.Hướng 2: Thay đổi yêu cầu bài toán. Chẳng hạn, sosánh tổng A với 1, chứng minh A nhỏ hơn 1,...Với yêu cầu này, HS sử dụng hình 1 sẽ nhanh chóngcó kết quả A < 1.Hướng 3: Mở rộng bài toán với hữu hạn số số hạng.Chẳng hạn, năm nay là năm 2017, chứng minh bất đẳng1 1111thức:  2  3  4  ...  2017  12 222 2Bài toán này có thể giải tương tự phương pháp tính Aở trên, tuy nhiên sử dụng hình 1, HS sẽ dễ dàng nhận rakết quả A < 1.VJETạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 33-35Hướng 4: Mở rộng bài toán với vô hạn số số hạng.Chẳng hạn, tính A:1 1 1 1A      ...2 4 8 16Với HS lớp 11, sau khi học cấp số nhân, các em sẽtính được tổng của dãy vô hạn trên bằng 1. Với một tổngvô hạn, biểu diễn dãy trên như hình 1 bằng cách liên tiếpchia nhỏ các hình vuông theo quy luật, HS sẽ nhận ra Atiến dần đến 1 (sử dụng phần mềm Geometer’sSketchpad sẽ vẽ chính xác các hình này) (xem hình 2).14121c)Hướng 6: Giải toán không dùng lời (thông qua hìnhvẽ) (dành cho HS trung học cơ sở).Chẳng hạn:1) Tính các tổng sau:1 1 1 1a)   2 4 8 161 1 1 11   2 4 8 16 321 1 1 111c)    2 4 8 16 32 64Dễ dàng thu được kết quả khi biểu diễn chúng trênhình 3:b)1611816432c)2222211111314321423314334144 ...  ... 3201714201711441411122211161Hình 2Hướng 5: Mở rộng bài tập trên bằng một chùm cácbài tập tương tự.Chẳng hạn:- Tính các tổng sau (dành cho HS trung học cơ sở):1 1 11a)  3 9 27 811 111b)  4 16 64 2561 111c) 5 25 125 625- Chứng minh các bất đẳng thức sau (dành cho HStrung học cơ sở):11111a) 2  3  4  ...  2017  1b)1 111 ...5 25 125 62511618a)161818113232b)64c)Hình 3Để tìm được kết quả ...