Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 11

Tài liệu tham khảo Kinh tế lượng nâng cao dùng cho sinh viên khoa toán kinh tế , Tài liệu này là bài số 5 giới thiệu về Chuỗi thời gian không dừng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kinh tế lượng nâng cao - Bài giảng số 11 BÀI 5 CHUỖI THỜI GIAN KHÔNG DỪNG1. ĐẶT VẤN ĐỀ Từ đầu những năm 1980, một số trào lưu phát triển kinh tế lượng đã có ảnhhưởng sâu sắc đến vấn đề ứng dụng kinh tế lượng trong thực tiễn. Nhữngphương pháp mới được các nhà kinh tế lượng quan tâm nhiều nhất đã tạo nênmột cuộc cách mạng trong lĩnh vực mô hình hoá, đặc biệt trong các lớp mô hìnhcân bằng và mô hình động. Bài này sẽ trình bày những phương pháp đó. Ta sẽbắt đầu bằng việc phân tích kỹ hơn các đặc tính thống kê của các chuỗi số liệusử dụng trong các mô hình kinh tế lượng. Tính chất của chuỗi số liệu này có ýnghĩa quan trọng trong việc mô hình hóa mối quan hệ cân bằng. Trong các mô hình hồi quy cổ điển ta luôn giả thiết các sai số ngẫu nhiên thoảmãn các điều kiện sau: + Có kỳ vọng toán bằng không, + phương sai đồng đều, + Không tương quan với nhau. Đây là trường hợp riêng của chuỗi dừng. Trong thực tế đối với khá nhiềuchuỗi thời gian các giả thiết trên có thể bị vi phạm.2. CHUỖI THỐNG KÊ DỪNG VÀ KHÔNG DỪNG Chuỗi thời gian ( time series) có thể coi như được tạo bởi tập hợp các biếnngẫu nhiên sắp xếp theo trình tự thời gian (được gọi là một quá trình ngẫu nhiên- Stochastic or Random process). Chuỗi quan sát Xt , t = 1, 2 ... N, trong đó, mỗiquan sát ứng với một thời điểm có thể coi là 1 điểm ghi nhận của quá trình ngẫunhiên tạo nên cơ sở số liệu đó. Chuỗi thời gian Xt được coi là ‘dừng yếu nếuthoả mãn 3 điều kiện sau đây:- Kỳ vọng toán không đổi theo thời gian E[Xt] = µ ;- Phương sai không đổi theo thời gian,var (Xt) = E[Xt - µ]2 = σ2 ; - Tương quan giữacác số liệu chỉ phụ thuộc vào khoảng thời gian quan sát giữa 2 giá trị mà khôngphụ thuộc vào vị trí của khoảng thời gian đó, tức là: cov (Xt ,Xt+k) = E[(Xt - µ )( Xt+k - µ )] = γ k Ví dụ: cov (X1 , X3) = cov (X11 , X13) = cov (X26 , X27); nghĩa là tương quan chỉ phụthuộc và k mà không vào t. Nếu một trong 3 tiêu chuẩn trên bị vi phạm thì chuỗi Xt được gọi là ‘khôngdừng. Như vậy γ k là hiệp phương sai của X giữa hai thời điểm t và t+k. Nếu k=0 thìγ 0 chính là phương sai Var(Xt). Vì vậy γk ρ k = ------- γ0chính là hệ số tự tương quan giữa Xt và Xt+k. Nếu xét các hệ số tự tương quan ρ k theo độ dài của trễ k ta sẽ thu được mộthàm gọi là hàm tự tương quan( Autocorrelation function- ACF). Như vậy tại điểm trễ k ta có: ACF(k) = ρ k = γ k/γ 0 = Cov(Xt, Xt+k)/ Var(Xt) Chú ý rằng nếu k = 0 thì ρ 0 = 1. ρ k không có đơn vị đo và luôn thoả mãn điều kiện: -1 ≤ ρ k ≤ 1. Ví dụ: Tệp số liệu ch12bt20 gồm các biến GDP, PDI ( thu nhập sau thuế), PCE ( tiêu dùng cá nhân), PROFIT (lãi sau thuế) vàDIVIDENT ( lợi tức ròng) của Mỹ từ quý 1-1970 – quý 4-1991 quy đổi theo giá1987. Hãy vẽ đồ thị của các biến trên theo thời gian và nhận xét về tính dừng củachúng. Các đồ thị đều cho thấy là các chuỗi thời gian trên đều là không dừng.3. MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN GIẢN ĐƠN3.1. Nhiễu trắng ( White noise).Khái niệm nhiễu trắng được dùng để mô tả một quá trình hoàn toàn ngẫu nhiên.Xét chuỗi: Xt = Ut ~ iid (0, σ 2)Điều đó có nghĩa: chuỗi của ta là một tập hợp các biến ngẫu nhiên độc lập cócùng phân phối với: - Kỳ vọng toán bằng 0, không phụ thuộc vào thờì gian t . - Phương sai σ2 cũng có giá trị không đổi - Hiệp phương sai cov (Xt , Xt+k) = 0 ∀ k ≠ 0 Cả 3 tính chất trên đều được thoả mãn do đó chuỗi này ‘dừng.Hình 1: Nhiễu trắng - Đồ thị phần dư trong phương trình hồi quy cổ điển 3 2 1 0 -1 -2 60 65 70 75 80 85 Y Residuals3.2: Quá trình tự hồi quy ( Autoregressiv process-AR). Xét mô hình tự hồi quy bậc 1 sau đây : Xt = β Xt-1 + ε t Trong đó -1 Ví dụ: nếu β =0.6 thì giá trị Xt sẽ bằng 0.6 nhân với giá trị X tại thời điểmtrước đó cộng với phần dư ngẫu nhiên, ε t . Trong mục trước ta đã biết hiện tượng nhiễu trắng là ‘dừng. Để xác nhậnXt có dừng hay không ta hãy biểu diễn Xt dưới dạng ε t và xem xét kết quả. Cóthể chứng minh được rằng: E(Xt) = β tE(X0) Var(Xt) = ρ 2(β 2(t-1) + β 2(t-2) + . . . + β 2 + 1) Cov(Xt, Xt-k) = β kVar(Xt)Do đó, AR(1) là một quá trình dừng nếu -1 < β < 1. Trường hợp chung, quá trình tự hồi quy bậc p - AR(p) có dạng: Xt = β 0 + β 1Xt-1 + β 2Xt-2 + . . . + β pXt-p + ut Sẽ là dừng nếu -1 < β j < 1 ∀j.Hình 2 biểu diễn quan sát của quá trình AR(1) Xt = 0,6Xt-1 + ε t trong đó Xnhận các giá trị bắt đầu từ quan sát X0 = 1. HÌNH 2: DỪNG AR(1)3. 3 ...