Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia THPT môn Toán

Với đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia môn Toán THPT sẽ giúp các bạn học sinh có thêm tư liệu chuẩn bị ôn luyện và bổ trợ kiến thức cho kỳ thi sắp tới cũng như bổ trợ kiến thức cho giáo viên ra đề thi. Mời các bạn học sinh và quý thầy cô giáo cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỳ thi học sinh giỏi quốc gia THPT môn ToánB GIÁO D C VÀ ÀO T O KỲ THI CH N H C SINH GI I QU C GIA THPT NĂM 2013 THI CHÍNH TH C Môn : TOÁN Th i gian : 180 phút (không k th i gian giao ) Ngày thi th hai : 12/01/2013Bài 5 (7,0 i m). Tìm t t c các hàm s f : R → R th a mãn : f (0) = 0 , f (1) = 2013 và ( x − y )( f ( f 2 ( x)) − f ( f 2 ( y ))) = ( f ( x) − f ( y ))( f 2 ( x) − f 2 ( y )) úng v i m i x, y ∈ R , trong ó f 2 ( x) = ( f ( x)) 2 .Bài 6 (7,0 i m). Cho tam giác nh n ABC n i ti p ư ng tròn (O) và i m D thu c cungBC không ch a i m A. ư ng th ng thay i i qua tr c tâm H c a tam giác ABC c tcác ư ng tròn ngo i ti p tam giác ABH và tam giác ACH l n lư t t i M và N(M ≠ H , N ≠ H ) . a) Xác nh v trí c a ư ng th ng di n tích tam giác AMN l n nh t. b) Ký hi u d1 là ư ng th ng i qua M và vuông góc v i DB, d 2 là ư ng th ng i qua N và vuông góc v i DC. Ch ng minh r ng giao i m P c a d1 và d 2 luôn thu c m t ư ng tròn c nh.Bài 7 (6,0 i m). Tìm t t c b s p th t (a, b, c, a , b , c ) th a mãn: ab + a b ≡ 1(mod15)     ac + a c ≡ 1(mod15)   bc + b c ≡ 1(mod15)   v i a, b, c, a , b , c ∈ {0,1,...,14} .------------------------------------------------------H T------------------------------------------------- • Thí sinh không ư c s d ng tài li u và máy tính c m tay. • Giám th không gi i thích gì thêm.BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT ĐỀ THI CHÍNH THỨC NĂM 2014 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 03/01/2014Bài 1 (5.0 điểm). Cho hai dãy số dương  xn  ,  yn  xác định bởi x 1 1 , y1  3 và  xn 1 yn 1  xn  0   2  xn 1  yn  2 với mọi n  1, 2,... Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng. 2nBài 2 (5.0 điểm). Cho đa thức P  x    x 2  7 x  6   13 với n là số nguyên dương. Chứng minhrằng P  x  không thể biểu diễn được dưới dạng tích của n  1 đa thức khác hằng số với hệ sốnguyên.Bài 3 (5.0 điểm). Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màuxanh các đỉnh còn lại. Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh xanh kề nhau. 1. Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp  A, B  . 2. Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để B  14 . Biết rằng, hai cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể nhận được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.Bài 4 (5.0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  với AB < AC. Gọi I làtrung điểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK  IC . Đườngthẳng BK cắt  O  tại D  D  B  và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đườngthẳng AC tại F. BC1. Chứng minh rằng EF  . 22. Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BNK cắt  O  tại P  P  B  . Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm đoạn thẳng AD. ------------------------------HẾT------------------------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA ĐỀ THI CHÍNH THỨC THPT NĂM 2014 Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 04/01/2014 Bài 5 (7.0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O  , trong đó B, C cố định và A thay đổi trên  O  . Trên các tia AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MA  MC và NA  NB . Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P  P  A . ...