Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 11

Tham khảo tài liệu kỳ thi olympic truyền thống 30.4 tại tp huế môn toán 11, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỳ thi Olympic truyền thống 30.4 tại TP Huế môn toán 11KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4L N TH XIII T I THÀNH PH HU THI MÔN TOÁN L P 11 Th i gian làm bài: 180 phút Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi tCâu 1 (4 i m). Gi i h phương trình sau:  y2 −x 2 x 2 + 1 e = 2  y +1 3 log 3 ( x + 2 y + 6) = 2 log 2 ( x + y + 2) + 1 Câu 2 (4 i m). Cho hình chóp u S.ABCD có c nh áy b ng d và s o c a nh di n [B,SC,D]b ng 1500. Tính th tích c a hình chóp u S.ABCD theo d.Câu 3 (4 i m). Cho dãy s dương (an). a. Ch ng minh r ng v i m i s nguyên dương k : 1  32 43 (k + 1)k a  k a .a ...a k ≤  2a 1 + a 2 + 2 a 3 + ... +  k (k + 1)  1 2 k   2 3 k k −1  n b. Bi t lim ∑ a i = a ∈ R. t bn = a 1 + a 1a 2 + 3 a 1a 2 a 3 + ... + n a 1a 2 ...a n v i n ≥ 1 n →∞ i =1 Ch ng minh r ng dãy (bn) có gi i h n.Câu 4 (4 i m). Cho hàm s f(x) = 2x – sinx. Ch ng minh r ng t n t i h ng s b và các hàm s g, h tho mãn ng th i các i u ki n sau: 1) g(x) = bx + h(x) v i m i s th c x. 2) h(x) là hàm s tu n hoàn. 3) f(g(x)) = x v i m i s th c x.Câu 5 (4 i m). Tìm t t c các s t nhiên m, n sao cho ng th c sau úng: 8m = 2m + n(2n-1)(2n-2) -------------------H T-------------------Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm ÁP ÁN TOÁN L P 11 N I DUNG I MCâu 1: Gi i h phương trình  y 2 − x2 x2 +1 e = 2 (1)  y +1 3log ( x + 2 y + 6) = 2 log ( x + y + 2) + 1 (2)  3 2 k: x + 2y +6 > 0 và x + y + 2 > 0 0,5 2 2 2 2 Phương trình (1) ⇔ y – x = ln(x +1) – ln(y +1) ⇔ ln(x2+1)+ x2 +1 = ln(y2+1)+y2+1 (3) 1 Xét hàm s f(t) = lnt + t v i t ≥ 1 Phương trình (3) có d ng f(x2+1) = f(y2+1) (4) Ta có f(t) ng bi n trên [1 ;+ ∞ ). Do ó (4) ⇔ x2+1 = y2+1 ⇔ x = ± y * V i x = -y , t (2) ta ư c log 3 (6 − x) = 1 , v i x -1 0.5  x + 2 = 32u t 3log 3 ( x + 2) = 2 log 2 ( x + 1) = 6u ⇒  3u  x +1 = 2 u u 1 8 ⇒ 1+23u = 32u ⇔   +   = 1 (5) 9 9 u u 1 1 8 Xét g(u) =   +   , g(u) là hàm ngh ch bi n trên R và có g(1) = 1 nên 9 9 u = 1 là nghi m duy nh t c a (5). V i u = 1 suy ra x = y = 7 (th a mãn h ) V y h có 2 nghi m (3 ;-3) , (7 ;7) 0.5 N I DUNG I MCâu 2: Cho hình chóp u S.ABCD có c nh áy b ng d và s o c a nh di n [B,SC,D] b ng 1500. Tính th tích c a hình chóp u S.ABCD theo d. Ta có: BD ⊥ SC . D ng m t ph ng qua BD vuoâng goùc vôùi SC taïi P. 0 1 Ta coù : ∠BPD = 150 2BP 2 − BD 2 BD 2 Ta có: cos150 = 0 =1− (1) 0.5 2BP 2 2BP 2 G i M là trung i m c a BC. Ta có SM .BC = BP.SC. BC = d, g i h là chi u cao hình chóp S.ABCD d2 d2 d 2 (4h 2 + d 2 ) 1 2 2 2 2 2 Ta có: SM = h + ; SC = h + . Suy ra: BP = 4 2 ...