Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 4

ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH4.1- Khái niệm chung. Các chương II và III đã trình bày mô tả toán học của hệ thống của hệ thống điều khiển truyền động. Chương này sẽ sử dụng các tư liệu của các chương đã trình bày trước đây để giải quyết nhiệm vụ đầu tiên khi phân tích hệ thống điều khiển tự động là xác định tính ổn định của nó. Thực ra việc nói một hệ thống ổn định là nói đến một số đại lượng nào đó được điều khiển ổn định. Một hệ thống thường...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật điều khiển tự động - Chương 4 Chương 4 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG TUYẾN TÍNH4.1- Khái niệm chung. Các chương II và III đã trình bày mô tả toán học của hệ thống của hệ thốngđiều khiển truyền động. Chương này sẽ sử dụng các tư liệu của các chương đã trìnhbày trước đây để giải quyết nhiệm vụ đầu tiên khi phân tích hệ thống điều khiển tựđộng là xác định tính ổn định của nó. Thực ra việc nói một hệ thống ổn định là nói đến một số đại lượng nào đóđược điều khiển ổn định. Một hệ thống thường biểu diễn bằng phương trình vi phân tổng quát: d n −1 y( t ) d n y( t ) dy( t ) + an-1 + ... + a1 + aoy(t) = dt n −1 dt n dt d m −1 y( t ) d m u(t ) du ( t ) = bm + bm-1 + ... + b1 + bou(t) (4-1) m −1 m dt dt dtHoặc phương trình sai phân: y(k+n) + an-1y(k+n-1) + ... + a1y(k+1) + aoy(k) = = bmu(k+n) + bm-1u(k+m-1) + ...+ b1u(k+1) + bou(k) (4-2) Sẽ bao gồm hai quá trình: Quá trình xác lập và quá trình quá độ. Đặc trưng bằng nghiệm: y(t) = yo(t) + yqđ(t) (4-3) Hoặc y(k) = yo(k) + yqđ(k) (4-4)Trong đó: - yo là nghiệm riêng của (4-1) hoặc (4-2) đặc trưng cho quá trình xác lập. - yqđ là nghiệm tổng quát của (4-1) hoặc (4-2) khi không có vế phải đặc trưng cho quá trình quá độ. Quá trình xác lập là một quá trình ổn định vấn đề chỉ còn xét quá trình quáđộ yqđ.4.2- Khái niệm ổn định và các định nghĩa chính. Đối với hệ thống tuyến tính, ổn định của hệ thống có mối liên hệ tới ma trậnA của hệ thống. Có thể nói đại khái rằng ổn định của các hệ thống này là tính chấtcủa ma trận hệ thống A. Đối với hệ thống liên tục hay gián đoạn khi không có đầuvào (đầu vào bằng không). x (t) = A. x(t) ; x(to) = xo (4-5) & x(k+1) = A.x(k) ; x(ko) = xo (4-6) http://www.ebook.edu.vn Theo điều kiện biên nghiệm của (4-5) và (4-6): x(t) = eA (t-to) xo ; x(k) = Ak-ko xo (4-7) Để hệ thống ổn định đòi hỏi: x ( t ) ≤ Const < ∞ ∀(t) x (k ) ≤ Const < ∞ ∀(k) (4-8) 12 = ⎛ ∑ x i2 ⎞ n x ⎜ ⎟ Ở đây: ⎝ i =1 ⎠ (4-7) đặc trưng cho đáp ứng quá độ của hệ thống ở thời kỳ quá độ khi có đầuvào. Các định nghĩa sau về ổn định của hệ thống đóng vai trò quan trọng nghiêncứu ổn định của hệ thống tuyến tính. Định nghĩa 1: Một hệ thống là ổn định nếu chuyển động của nó được giớihạn, nói một cách khác nếu vectơ trạng thái bị giới hạn bởi hằng số. Định nghĩa 2: Một hệ thống là xu hướng ổn định nếu x(t)→0 khi t→ ∞. * Đối với hệ thống tuyến tính bất biến. Ổn định của nó quan hệ chặt chẽ vớicác trị riêng của hệ thống.4.3- Trị riêng và tính ổn định của hệ thống.4.3.1- Trị riêng và vectơ riêng. Xét phương trình vectơ: y=Ax (4-9) Với x, y là các vectơ cột, còn A là ma trận vuông. Theo quan hệ này ta cóvectơ y cùng hướng với vectơ x. Nghĩa là quan hệ giữa x và y là quan hệ tuyến tínhvới hệ số λ . y=A.x=λ.x (4-10) λ là một đại lượng vô hướng (hệ số tỷ lệ). Đây chính là bài toán trị riêng (eigen values). Các giá trị λi để phương trình y = A.x có nghiệm xi ≠ 0. λi trị riêng. xi vectơ riêng. A.x = λ . x (A - λ . I) . x = 0 hay Phương trình này có nghiệm không tầm thường khi: det (A - λ . I) = 0 (4-11) (4-11) được gọi là phương trình đặc trưng. http://www.ebook.edu.vn 34 Ví dụ: Cho: A= 13 ...