Kỹ thuật phân tích bình phương hoán vị chứng minh bất đẳng thức

Bât ñang thc hoán v là nhng bài toán rât ñp bi s phát bieu ñơn gin nhnhàng ca chúng. Tuy nhiên, viec gii chúng thì ngưc li, viec tìm mot li gii chochúng vô cùng vât v và khó khăn. Và ñôi vi nhng bài toán có 2 ñang thc tr lênthì mi viec li càng tr nên khó khăn hơn. Sau mot thi gian hc hi kinh nghiem vàtìm tòi, tôi ñã tìm ñưc mot kĩ thuat ñe ñánh giá cho nhng bât ñang thc hoán v ñơngin. Do ño khó ca các bài toán nên ñôi khi...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật phân tích bình phương hoán vị chứng minh bất đẳng thức www.VNMATH.com2 VIF LờiI/ Lời nói đầu. B t ñ ng th c hoán v là nh ng bài toán r t ñ p b i s phát bi u ñơn gi n nhnhàng c a chúng. Tuy nhiên, vi c gi i chúng thì ngư c l i, vi c tìm m t l i gi i chochúng vô cùng v t v và khó khăn. Và ñ i v i nh ng bài toán có 2 ñ ng th c tr lênthì m i vi c l i càng tr nên khó khăn hơn. Sau m t th i gian h c h i kinh nghi m vàtìm tòi, tôi ñã tìm ñư c m t kĩ thu t ñ ñánh giá cho nh ng b t ñ ng th c hoán v ñơngi n. Do ñ khó c a các bài toán nên ñôi khi m t s l i gi i có ñôi chút dài, nhưng bùl i là ta có th làm ch t cho m t s bài toán (ñây là m t ñi u b t ng mà kĩ thu t nàymang l i). Cũng xin nói thêm r ng: b t ñ ng th c hi n ñ i r t phong phú v i r t nhi u bàit p. Tuy nhiên v i b t ñ ng th c hoán v vòng quanh thì khác, nó r t ít nên có th coilà nh ng bài toán hi m. Vi c t o ra m t b t ñ ng th c ñúng ñã là khó mà ñ b t ñ ngth c ñó hay thì càng khó hơn, nên ñ i v i b t ñ ng th c hoán v thì ñi u ñó l i càngkhó th c hi n. Vì th kĩ thu t này ch là m t công c nh nhưng l i vô cùng h u íchñ các b n có thêm m t hư ng gi i quy t các bài toán b t ñ ng th c hoán v vòngquanh ba bi n. M c dù bài vi t ñư c hoàn thành trong lúc tôi ñang c m tr i nên r t m t, nhưngtôi v n c g ng hoàn thành bài vi t này trong m t ngày tr ng ñ i 26-3-2009 (ðoànthanh niên C ng s n H Chí Minh). Vì th tôi s r t hoan nghênh nh ng s ñóng góp,tìm tòi sáng t o thêm cho kĩ thu t này t phía các b n. M i th c m c – ñóng góp ýki n xin vui long lien h theo ñ a ch :E-mail: vnineq@yahoo.com ho c YM: vnineq giả Tác giả VIFNgày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com www.VNMATH.com3 VIF sởII/ Cơ sở của kĩ thuật. S th t b t ng n u tôi nói v i các b n r ng cơ s c a kĩ thu t này là phương phápphân tích bình phương S.O.S: là ñưa b t ñ ng th c thu n nh t ba bi n a,b,c v d ng: S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0 ð i v i b t ñ ng th c ñ i x ng ba bi n thì vi c quy v d ng chính t c S.O.S nhưtrên là ñơn gi n giúp ta d dàng gi i quy t bài toán. Tuy nhiên, ñ i v i b t ñ ng th choán v vòng quanh thì cách quy trên ñôi khi không thích h p và t o ra các h s S a ; Sb ; S c r t c ng k nh và khó x lí. Trong trư ng h p ñó có m t cách khác là quy vd ng: (Tôi t m g i nó là phân tích bình phương hoán v S.O.C) S a (b − c ) 2 + Sb (c − a ) 2 + Sc ( a − b) 2 ≥ S ( a − b)(b − c )(c − a )Cách quy trên có gì l i?:- Th nh t: ñ i v i các d ng hoán v vòng quanh thì nó t nhiên và ñơn gi n hơn cách ñưa v S.O.S chính th ng.- Th hai: ñ i v i b t ñ ng th c hoán v thì ta ch c n xét m t trong 2 kh năng sau: + M t trong ba s là l n nh t (gi s là a = max{a,b,c} ), thì ta xét 2 trư ng h p có th x y ra là a ≥ b ≥ c và a ≥ c ≥ b . + M t trong ba gi a 2 s kia (gi s là b), thì ta xét 2 trư ng h p có th x y ra là a ≥ b ≥ c và c ≥ b ≥ a . Vì v y, n u v trái và S không âm thì ta ch xét trư ng h p c ≥ b ≥ a mà b quatrư ng h p a ≥ b ≥ c . Cu i cùng cũng xin lưu ý luôn là ñ i v i các bài toán sau ñây chúng ta cũng chxét trư ng h p c ≥ b ≥ a (khi ñó (a − b)(b − c)(c − a ) ≥ 0 ⇒ a 2b + b 2c + c 2 a ≤ ab 2 + bc 2 + ca 2 ),còn v i trư ng h p a ≥ b ≥ c thì S (a − b)(b − c)(c − a) ≤ 0 , và ta ch ph i làm theo phươngpháp truy n th ng S.O.S là ch ng minh b t ñ ng th c: S a (b − c ) 2 + S b ( c − a ) 2 + S c ( a − b ) 2 ≥ 0Ngày 26 Tháng 3 Năm 2009 www.VNMATH.com www.VNMATH.com4 VIFIII/ Phân tích cơ s .1. ab 2 + bc 2 + ca 2 − a 2b − b 2c − c 2 a = (a − b)(b − c)(c − a )2. ab2 + bc2 + ca 2 − 3abc = 1 ( ab2 + bc 2 + ca 2 − a 2b − b2c − c 2 a + ab2 + bc2 + ca 2 + a 2b + b2c + c2 a − 6abc ) 2= 1 2 ( (a − b)(b − c)(c − a) + a(b − c)2 + b(c − a)2 + c(a − b)2 ) a − b b − c c − a −(a − b)(b − c )(c − a )3. + + = a + b b + c c + a (a + b)(b + c )(c + a ) a b c 1  a +b+ a−b b+c +b−c c+ a+c −a  1  a −b b −c c −a 4. + + =  + +  = 3 + + + = a+b b+c c+a 2 a+b ...