Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình, hệ phương trình

Để giúp cho học sinh lớp 12 có thêm tư liệu ôn tập môn Toán. Mời các bạn tham khảo kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình, hệ phương trình. Mong rằng bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức và đạt được điểm cao như mong muốn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phương trình, hệ phương trình KỸ THUẬT SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐGIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp hàm s trong các bài toán ñ i sI – ƯNG D NG CÁC TÍNH CH T HÀM S VÀO GI I PHƯƠNG TRÌNH1. N u hàm s y = f ( x ) ñơn ñi u trên t p D thì phương trình f ( x ) = k n u có nghi mx = x 0 thì ñó là nghi m duy nh t c a phương trình.2. N u hàm s y = f ( x ) ñơn ñi u trên t p D và u ( x ) , v ( x ) là các hàm s nh n các giá trthu c D thì f ( u ( x ) ) = f ( v ( x ) ) ⇔ u ( x ) = v ( x ) . • M t s lưu ý khi s d ng phương pháp hàm s .V n ñ quan tr ng nh t khi s dung phương pháp hàm s là chúng ta ph i nh n ra ñư chàm s ñơn ñi u và nh m ñư c nghi m c a phương trình.1) ð phát hi n ñư c tính ñơn ñi u c a hàm s chúng ta c n n m v ng các tính ch t:i) N u y = f ( x ) ñ ng bi n (ngh ch bi n) thì:+ y= n f ( x ) ñ ng bi n (ngh ch bi n). 1+ y= v i f ( x ) > 0 ngh ch bi n (ñ ng bi n). f ( x)+ y = − f ( x ) ngh ch bi n (ñ ng bi n).ii) T ng c a các hàm s ñ ng bi n (ngh ch bi n) trên D là m t hàm s ñ ng bi n (ngh chbi n) trên D.iii) Tích c a các hàm s dương ñ ng bi n (ngh ch bi n) trên D là m hàm s ñ ng bi n(ngh ch bi n) trên D.Ví d : T tính ñơn ñi u c a các hàm s y = x + 3 , y = 3 − x, y = 2 − x n u n m ñư c cáctính ch t trên ta có th phát hi n ñư c ngay các hàm s y = 3 x + 3 + x + 3 + x (ñb), 6 8 1y= + (ñb), y = + 3 − x (nb). T cách nhìn nh n ñó có th giúp 3− x 2−x x+3chúng ta ñ nh hư ng ñư c phương pháp gi i là s d ng tính ñơn ñi u c a hàm s .2) Vi c nh m nghi m cũng là m t v n ñ r t quan trong trong phương pháp này, khi nh mnghi m ta thư ng ưu tiên ch n x mà bi u th c trong d u căn là lũy th a mũ n (n u căn b c αn), ho c n u phương trình logarit thì ta ch n x mà bi u th c trong d u loga là a n u pt cólogarit cơ s a…..Ví d 1. Gi i các phương trình: 5 x − 1 + 3 2 x − 1 + x = 4 (1) 2 x + 3 x + 6 x + 16 − 4 − x = 2 3 (2) 3 3 2a) b)Gi i:a) Quan sát v trái c a pt (1) chúng ta th y khi x tăng (gi m) thì giá tr c a các bi u th ctrong d u căn cũng tăng (gi m), t dó chúng ta th y v trái là hs ñ ng bi n mà v ph ib ng 4 không ñ i nên ta s d ng tính ñơn ñi u c a hs là l a ch n h p lí ñ gi i quy t bàitoán. 1ðK: 5 x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 . ð t f ( x ) = 5 x − 1 + 3 2 x − 1 + x , ta có phương trình 3 3 5 f ( x) = 4B n th o xu t b n sách năm 2009 – Nguy n T t Thu – Tr n Văn Thương Phương pháp hàm s trong các bài toán ñ i s 2 15 x 2  1 Ta có f ( x ) = + + 1 > 0 v i m i x ∈  3 ; +∞  nên hàm s ñ ng 2 5x − 1 3 3 ( 2 x − 1)  5  3 2  1 bi n trên  3 ; +∞  . Mà f (1) = 4 , t c x = 1 là m t nghi m c a phương trình. Ta ch ng  5 minh ñó chính là nghi m duy nh t.+ N u x > 1 thì f ( x ) > f (1) = 4 ⇒ PTVN 1+ N u 3 ≤ x < 1 Thì f ( x ) < f (1) = 4 ⇒ PTVN 5V y PT có nghi m duy nh t x = 1 .b) ð K:  2 x 3 + 3 x 2 + 6 x + 16 ≥ 0 ( x + 2 ) 2 x − x + 8 ≥ 0  ⇔ 2 ⇔ −2 ≤ x ≤ 4 ( ) 4 − x ≥ 0 x ≤ 4 PT (2) có d ng f ( x ) = 2 3 trong ñó f ( x ) = 2 x + 3x + 6 x + 16 − 4 − x 3 2f ( x ) = ( 3 x + x +1 2 ) + 1 > 0 v i m i x ∈ ( −2;4 ) nên hàm s ñ ng bi n trên 2 x + 3x + 6 x + 16 3 2 2 4− x[-2;4]. Mà f (1) = 2 3 , t ñó ta có x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình.Ví d 2. Gi i các phương trình :a) 6 3− x + 8 2− x ...