Lấy mẫu tín hiệu ( chương 7)

Lấy mẩu Tín hiệu liên tục có thể được xử lý bằng cách xử lý các mẩu của tín hiệu qua hệ thống rời rạc. Điều cần thiết là phải duy trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khôi phục tốt tín hiệu (không có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được). Điều này có thể thực hiện được dùng định lý lấy mẩu. 5.1 Định lý lấy mẫu Ta sẽ chứng minh là tín hiệu thực có phổ băng thông giới hạn B Hz [F(w)= 0 với w 2pB ]...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lấy mẫu tín hiệu ( chương 7) CHƯƠNG 7: LẤY MẨU TÍN HIỆU Nội dung Định lý lấy mẩu5.1 Tính biến đổi Fourier: Biến đổi Fourier rời rạc (DFT)5.2 Biến đổi Fourier nhanh (FFT)5.3 Phụ chương 5.15.4 Tóm tắt5.5Tài liệu tham khảo:B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998Lấy mẩu Tín hiệu liên tục có thể được xử lý bằng cách xử lý các mẩu của tín hiệu qua hệthống rời rạc. Điều cần thiết là phải duy trì tốc độ lấy mẩu tín hiệu đủ lớn để khôi phụctốt tín hiệu (không có sai số hay sai số với độ dung sai chấp nhận được). Điều này có thểthực hiện được dùng định lý lấy mẩu.5.1 Định lý lấy mẫu Ta sẽ chứng minh là tín hiệu thực có phổ băng thông giới hạn B Hz [F(w)= 0 vớiw > 2pB ] có thể được khôi phục chính xác (không có sai số nào) từ các tốc độ lấy mẩuđồng đều với tốc độ Fs > 2B mẩu/giây. Nói cách khác, tốc dộ lấy mẩu tối thiểu là Fs = 2BHz. Để chứng minh định lý lấy mẩu, xét tín hiệu f(t) (hình 5.1a) có phổ giới hạn B Hz(hình 5.1b). Để thuận tiện, ta vẽ phổ là hàm theo w cũng như theo F (Hz). Lấy mẩu f(t)với tốc độ Fs Hz (Fs mẩu/giây) có thể thực hiện bằng cách nhân f(t) với chuỗi xung dT(t)(hình 5.1c), gồm các xung đơn vị lặp lại theo chu kỳ T giây, với T =1/Fs. Kết quả là tínhiệu được lấy mẫu f (t ) vẽ trong hình 5.1d, là tín hiệu gồm các xung cách nhau từng Tgiây (thời gian lấy mẫu). Xung thứ n, nằm tại t = nT, có cường độ f(nT), là giá trị của f(t)tại t = nT. f (t ) = f (t )d T (t ) = å f (nT )d (t - nT ) (5.1) nĐể tìm F (w ) , biến đổi Fourier của f (t ) , ta lấy biến đổi Fourier của vế phải phương trình(5.3) từng thừa số một. Biến đổi của thừa số thứ nhất trong ngoặc là F(w). Biến đổi củathừa số thứ hai 2 f (t ) cos w s t là F(w –ws ) + F(w +ws ) (xem phương trình (4.41), chothấy phổ F(w) dời ws và –ws. Tương tự, biến đổi Fourier của thừa số thứ ba 2 f (t ) cos 2w s t là F(w –2ws ) + F(w +2ws ), cho thấy phổ F(w) dời 2ws và –2ws, và tiếptục cho tới vô hạn. Điều này tức là phổ F (w ) gồm F(w) lặp lại theo chu kỳ ws = 2p/Trad/s, hay Fs = 1/T Hz, như vẽ trong hình 5.1e. Ngoài ra còn có thêm hằng số nhân 1/Ttrong phương trình (5.3). Do đó 1¥ F (w ) = å F (w - nw s ) (5.4) T n=-¥ Nếu muốn khôi phục f(t) từ f (t ) , ta phải khôi phục được F(w) từ F (w ) . Có thểkhôi phục được nếu không có trùng lắp giữa các chu kỳ liên tiếp của F (w ) . Hình 5.1echo thấy cần có Fs > 2B (5.5)Đồng thời, thời gian lấy mẩu T =1/Fs. Do đó 1 T£ (5.6) 2B¢ Thí dụ 5.1 Trong thí dụ này, ta xét ảnh hưởng của tín hiệu khi lấy mẩu theo tốc độ Nyquist,thấp hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu thiếu), cao hơn tốc độ Nyquist (lấy mẩu lố). Xét tínhiệu f (t ) = sin c 2 (5pt ) (hình 5.2a) có phổ F (w ) = 0,2D( 20p ) (hình 5.2b). Băng thông của wtín hiệu là 5 Hz (10p rad/s). Như thế, tốc độ Nyquist là 10Hz; tức là, ta phải lấy mẩu tínhiệu với tốc độ không nhỏ hơn 10 mẩu/s. Khoảng Nyquist là T = 1/2B = 0,1 giây. Nhắc lại là phổ của tín hiệu đã lấy mẩu gồm (1 / T )F (w ) = T D( 20p ) lặp lại theo chu w 2kỳ bằng với tần số lấy mẩu Fs Hz. Ta trình bày thông tin này trong bảng sau với tốc độlấy mẩu Fs = 5Hz (lấy mẩu thiếu). 10Hz (tốc độ Nyquist) và 20Hz (lấy mẩu lố). (1/T)F(w) Thời gian lấy mẩu T Nhận xét Tần số lấy mẩu Fs D( 20p ) w Lấy mẩu thiếu 5 Hz 0,2 2D( 20p ) w Tốc độ Nyquist 10 Hz 0,1 4D ( ) w Lấy mẩu lố 20 Hz 0,05 20p Trong trường hợp đầu (lấy mẩu thiếu), tốc độ lấy mẩu là 5Hz (5 mẩu/giây ...