Lời giải đề thi học sinh giỏi quốc gia 2010 - 2011

Tài liệu tham khảo và tuyển tập các đề thi thử tuyển sinh học sinh giỏi quốc gia 2010 - 2011 của các trường trung học phổ thông dành cho các bạn ôn thi tốt trong thi học sinh giỏi quốc gia 2010 - 2011. Chúc các bạn thành công trong kỳ thi sắp tới
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi học sinh giỏi quốc gia 2010 - 2011 BAN BIÊN T P DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN L I GI IĐ THI H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2010 – 2011d THÁNG 01 – 2011 BÀI S 1: B T Đ NG TH CBài 1. Cho x là s th c dương và n là s nguyên dương. Ch ng minhb t đ ng th c 2 n+1 x n ( x n+1 + 1) x+1 . xn + 1 2Đ ng th c x y ra khi nào?L i gi i 1. Ta s d ng phương pháp quy n p theo n. V i n = 1, b tđ ng th c c a ta tr thành 3 x( x2 + 1) x+1 . x+1 2Theo b t đ ng th c AM-GM, ta có 2 1 (2 x) + ( x2 + 1) ( x + 1)4 1 x( x + 1) = · (2 x) · ( x2 + 1) 2 . = 2 2 2 8T đó suy ra ( x+1)4 3 x( x2 + 1) x+1 8 . = x+1 x+1 2Và như v y, b t đ ng th c đã cho đúng v i n = 1.Ti p theo, ta s ch ng minh r ng n u b t đ ng th c đúng cho n = k( k ∈ N∗ ) thì nó cũng s đúng v i n = k + 1. Th t v y, theo gi thi t quyn p, ta có 2 k+1 x k ( x k+1 + 1) x+1 , xk + 1 2suy ra 2( k+1)+1 2 2 k+1 2 x k ( x k+1 + 1) x+1 x+1 x+1 x+1 . = · xk + 1 2 2 2 2S d ng đánh giá này, ta th y r ng vi c ch ng minh có th đư c đưav ch ng minh k t qu sau 2 x k ( x k+1 + 1) x k+1 ( x k+2 + 1) x+1 . · xk + 1 x k+1 + 1 2B t đ ng th c này tương đương v i ( x + 1)2 ( x k+2 + 1)( x k + 1) , ( x k+1 + 1)2 4x8 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNhay là ( x + 1)2 ( x k+2 + 1)( x k + 1) −1 − 1. ( x k+1 + 1)2 4xDo ( x + 1)2 − 4 x = ( x − 1)2 và ( x k+2 + 1)( x k + 1) − ( x k+1 + 1)2 = x k ( x − 1)2 nênta có th thu g n b t đ ng th c l i thành ( x − 1)2 x k ( x − 1)2 , ( x k+1 + 1)2 4xtương đương ( x − 1)2 ( x k+1 + 1)2 − 4 x k+1 0.B t đ ng th c này đúng vì theo AM-GM, ta có ( x k+1 + 1)2 4 x k+1 .Như v y, ta đã ch ng minh đư c n u kh ng đ nh bài toán đúng chon = k ( k ∈ N∗ ) thì nó cũng đúng cho n = k + 1. T đây, k t h p v i vi cđã xác l p đư c tính đúng đ n c a b t đ ng th c c n ch ng minhcho n = 1, ta suy ra nó đúng v i m i s nguyên dương n (theo nguyênlý quy n p). Ngoài ra, có th th y đư c trong su t quá trình ch ngminh, d u đ ng th c ch x y ra t i m t đi m duy nh t x = 1.L i gi i 2. Ta s ch ng minh k t qu t ng quát hơn: V i m i a,b > 0, thì 2 n+1 a n b n (a n+1 + b n+1 ) a+b . (1) an + b n 2K t qu bài toán đã cho là trư ng h p riêng khi a = x và b = 1.D th y (1) là m t b t đ ng th c thu n nh t cho hai bi n a, b, vì v ykhông m t tính t ng quát ta có th chu n hóa cho a + b = 2. Khi đó(1) có th vi t l i dư i d ng ...