Lời giải đề thi học sinh giỏi toán quốc gia năm 2010 -2011

Tài liệu tham khảo Lời giải đề thi học sinh giỏi toán quốc gia năm 2010 -2011 môn toán học
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lời giải đề thi học sinh giỏi toán quốc gia năm 2010 -2011 BAN BIÊN T P DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VN L I GI IĐ THI H C SINH GI I QU C GIA NĂM H C 2010 – 2011d THÁNG 01 – 2011d L I NÓI Đ UDi n đàn toán h c Math.vn chưa đ y hai tu i, nhưng nh ng đónggóp c a các thành viên trên di n đàn v i c ng đ ng đã d n đư ckh ng đ nh Di n đàn là nơi trao đ i h u ích c a các th y cô giáo,c a các em h c sinh và nh ng b n yêu toán . . . Đã có nhi u bàigi ng hay, đã có nh ng l i gi i đ p cho nh ng bài toán khó, đã lànơi g p g trao đ i nhi u ý tư ng đ c đáo cho nh ng v n đ tư ngch ng đơn gi n . . . Nhìn l i hơn m t năm ho t đ ng, chúng tôi th yđã có nh ng d u n: • T ch c tư ng thu t tr c ti p đ i h i Toán h c th gi i n Đ , nơi tài năng và con ngư i Vi t Nam đư c kh ng đ nh b ng gi i thư ng Fields c a Giáo sư Ngô B o Châu. Nh ng thông tin c a Math.vn đã đư c nhi u trang web trích đăng. • T ch c thi th năm 2010 v i 24 đ ch t lư ng đư c đa ph n h c sinh và th y cô đánh giá cao. • T ch c gi i đ thi đ i h c kh i A, B, D môn Toán có nhi u l i gi i hay đư c công b s m nh t.Phát huy tinh th n đó, nhân kỳ thi ch n h c sinh gi i Qu c gia Vi tNam 2011, di n đàn t ch c gi i đ VMO 2011. Chúng tôi tin tư ngđây là m t tài li u t t cho các b n h c sinh đang và s tham gia cáccu c thi ch n h c sinh gi i tham kh o. BAN BIÊN T P DI N ĐÀN MATH.VN4 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNd M CL CL i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3L i gi i bài 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7L i gi i bài 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13L i gi i bài 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17L i gi i bài 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19L i gi i bài 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21L i gi i bài 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25L i gi i bài 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 DI N ĐÀN TOÁN H C MATH.VNd BÀI S 1: B T Đ NG TH CBài 1. Cho x là s th c dương và n là s nguyên dương. Ch ng minhb t đ ng th c 2 n+1 x n ( x n+1 + 1) x+1 . xn + 1 2Đ ng th c x y ra khi nào?L i gi i 1. Ta s d ng phương pháp quy n p theo n. V i n = 1, b tđ ng th c c a ta tr thành 3 x( x2 + 1) x+1 . x+1 2Theo b t đ ng th c AM-GM, ta có 2 1 (2 x) + ( x2 + 1) ( x + 1)4 1 x( x + 1) = · (2 x) · ( x2 + 1) 2 . = 2 2 2 8T đó suy ra ( x+1)4 3 x( x2 + 1) x+1 8 . = x+1 x+1 2Và như v y, b t đ ng th c đã cho đúng v i n = 1.Ti p theo, ta s ch ng minh r ng n u b t đ ng th c đúng cho n = k( k ∈ N∗ ) thì nó cũng s đúng v i n = k + 1. Th t v y, theo gi thi t quyn p, ta có 2 k+1 x k ( x k+1 + 1) x+1 , xk + 1 2suy ...