Luận án tiến sĩ Toán học: Áp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán elliptic suy biến

Luận án này tập trung nghiên cứu một số lớp phương trình và hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa toán tử ∆λ bằng các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án tiến sĩ Toán học: Áp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán elliptic suy biến BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI KIM MYÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨUMỘT SỐ BÀI TOÁN ELLIPTIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 BÙI KIM MYÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨUMỘT SỐ BÀI TOÁN ELLIPTIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viếtchung với các tác giả khác đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giảkhi đưa vào luận án. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưatừng được công bố trong bất trong bất kì công trình của ai khác. Hà Nội, tháng 02 năm 2019 NCS Bùi Kim My i LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, dưới sự hướng dẫn tận tình chu đáo của PGS.TSCung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và vô cùng biết ơn tớiThầy, người đã truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm học tập và nghiên cứukhoa học, định hướng tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thú vị vàcó ý nghĩa. Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TSNguyễn Năng Tâm, TS Trần Văn Bằng (trường ĐHSP Hà Nội 2), TSPhan Quốc Hưng (trường ĐH Duy Tân, Đà Nẵng) đã động viên và chotác giả những góp ý, kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học giúp tác giảhoàn thành luận án này. Tác giả cũng xin cảm ơn các Thầy, Cô và các Anh, Chị nghiên cứu sinhở Xêmina Giải tích, Khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2 và Xêmina củaBộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tạomột môi trường học tập, nghiên cứu khoa học sôi nổi và thân thiện, giúptác giả hoàn thành luận án này. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học DuyTân đã hỗ trợ một phần kinh phí để tác giả hoàn thành luận án này. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, nhữngngười thân đã luôn ở bên, tin tưởng và cho tác giả động lực tinh thần đểtác giả hoàn thành luận án này. Tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em,bạn bè đã giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận án này. ii Mục lụcLỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iLỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiMỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . 3MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Mục đích nghiên cứu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5. Kết quả của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6. Cấu trúc của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1. Toán tử ∆λ -Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2. Các không gian hàm và phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3. Một vài kết quả của lí thuyết điểm tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.4. Một số điều kiện tiêu chuẩn trên số hạng phi tuyến . . . . . . . . . 34 Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNHELLIPTIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2. Sự tồn tại nghiệm yếu không tầm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3. Tính đa nghiệm của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1 Chương 3. SỰ TỒN TẠI VÀ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆMCỦA HỆ HAMILTON SUY BIẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2. Sự không tồn tại nghiệm cổ điển dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3. Sự tồn tại của một dãy vô hạn nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Chương 4. ĐỊNH LÍ KIỂU LIOUVILLE CHO HỆ BẤT ĐẲNGTHỨC ELLIP ...