Luận án Tiến sĩ Toán học: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether

Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu đặc trưng một số lớp vành Artin (CS- nửa đơn, QF- vành) thông qua lớp các môđun trên chúng; nghiên cứu đặc trưng tính Noether của lớp các V- vành và vành đơn, từ đó thu được kết quả mới trên SI- vành. Để hiểu rõ hơn về đề tài, mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết luận án!

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Đặc trưng một số lớp vành Artin và Noether i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quảviết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trướckhi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực vàchưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Đinh Đức Tài ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của GS. TSKH. Đinh Văn Huỳnh (Trường Đại học Ohio, Hoa Kỳ)và PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng (Trường Đại học Vinh). Lời đầu tiên, tác giảxin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Đinh Văn Huỳnh,người Thầy nghiêm khắc và mẫu mực, đã định hướng nghiên cứu vàhướng dẫn tận tình, chú đáo trong suốt thời gian tác giả thực hiện luậnán này. Xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Ngô Sỹ Tùng,người đã thường xuyên quan tâm tạo mọi điều kiện thuận lợi, cùng vớinhững lời động viên khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được nhiều ýkiến đóng góp quý báu của GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường (Viện Toánhọc Việt Nam), PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang (ĐHSP Hà Nội), GS.TS.Lê Văn Thuyết (ĐH Huế). Tác giả xin trân trọng cảm ơn. Xin chân thành cảm ơn sự góp ý và giúp đỡ của các nhà khoa học:PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Lê Quốc Hán, TS. Chu TrọngThanh, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan đã dành cho tác giả trong quá trìnhviết và chỉnh sửa luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: Khoa Toán và khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh; Ban Giám hiệu trường Đại học Hà Tĩnh; Các thành viên trong nhóm xemina Lý thuyết Vành tại trường ĐHVinh; iii Trung tâm Lý thuyết Vành và ứng dụng (CRA) thuộc khoa Toán(Trường Đại học Ohio - Hoa Kỳ) đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giảđược sang thực tập, nghiên cứu trong khoảng thời gian 6 tháng hết sứcquý báu (từ tháng 6 đến tháng 12 năm 2008). Cuối cùng, xin gửi tới gia đình, anh em, bạn bè, lời biết ơn chânthành về sự động viên, chia sẻ trong suốt thời gian qua. Cảm ơn sự hysinh của vợ và hai con - chỗ dựa tinh thần vững chắc giúp tôi vượt quamọi khó khăn hoàn thành luận án. Vinh, tháng 10 năm 2010 Đinh Đức Tài 1 MỤC LỤCLời cảm ơn iiMục lục 1Bảng kí hiệu 3Mở đầu 41 Kiến thức chuẩn bị 121.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Môđun nội xạ, môđun xạ ảnh và các mở rộng . . . . . . . . 171.3. Vành Artin, vành Noether và các lớp vành liên quan . . . . 192 Vành CS - nửa đơn 232.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2. Đặc trưng vành CS - nửa đơn . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 QF-vành 353.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Đặc trưng QF-vành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 Điều kiện để một số lớp vành trở thành Noether 444.1. Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2. Khi nào một V-vành là Noether . . . . . . . . . . . . . . . 48 24.3. Điều kiện để một vành đơn là Noether . . . . . . . . . . . 514.4. Khi nào một vành đơn là SI . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5. Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Kết luận của luận án 61Danh mục các công trình liên quan 62Tài liệu tham khảo 62 3 BẢNG KÍ HIỆUZ : Vành các số nguyênQ : Trường các số hữu tỷR : Trường các số thựcC : Trường các số phứcA ⊆⊕ B : A là hạng tử trực tiếp của BA /− B : A là môđun con cốt yếu của BA∼ = B : A đẳng cấu với BA ⊕ B : Tổng trực tiếp của môđun A và môđun BACC (DCC) : Điều kiện xích tăng (giảm)E(M ) : Bao nội xạ của môđun MSoc(M ) : Đế của môđun MEnd(M ) :Vàn ...