Luận án Tiến sĩ Toán học: Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind và ứng dụng

Luận án Tiến sĩ Toán học "Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind và ứng dụng" trình bày các nội dung chính sau: Đại số Hopf trên các vành Dedekind; Một số khái niệm trong phạm trù cộng tính và phạm trù aben; Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind; Đặc trưng Tannaka cho các đồng cấu trên vành Dedekind và cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng trên vành định giá rời rạc.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind và ứng dụng VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐẠI DƯƠNGĐỐI NGẪU TANNAKA TRÊN VÀNH DEDEKIND VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐẠI DƯƠNGĐỐI NGẪU TANNAKA TRÊN VÀNH DEDEKIND VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS.TSKH. PHÙNG HỒ HẢI Hà Nội - 2017Mục lụcTóm tắt ivAbstract viMột số kí hiệu ixMở đầu x1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Vành Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Đại số Hopf trên các vành Dedekind . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Đối đại số và đối môđun trên một đối đại số . . . . . 3 1.2.2 Song đại số và đại số Hopf . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Không gian hệ số, đối môđun con đặc biệt và thương con đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Chuyển cơ sở lên thớ tổng quát và dàn của các đối môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Một số khái niệm trong phạm trù cộng tính và phạm trù aben; phạm trù và hàm tử ten xơ . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Hạch và ảnh của một cấu xạ trong một phạm trù cộng tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Ind-phạm trù của một phạm trù aben . . . . . . . . 16 1.3.3 Phạm trù và hàm tử ten xơ . . . . . . . . . . . . . . 18 i 1.4 Tiêu chuẩn về tính phẳng (trung thành) . . . . . . . . . . . 212 Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind 25 2.1 Đối ngẫu Tannaka cho các phạm trù aben . . . . . . . . . 26 2.1.1 Phạm trù con xác định và đặc trưng cho phạm trù của các đối môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Phạm trù Tannaka trên vành Dedekind . . . . . . . 33 2.2 Đối ngẫu Tannaka cho phạm trù ten xơ cộng tính, dàn Tan- naka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Dàn Tannaka và mở rộng vô hướng . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Tương đương phạm trù cho dàn Tannaka . . . . . . 383 Đặc trưng Tannaka cho các đồng cấu trên vành Dedekind và cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng trên vành định giá rời rạc 42 3.1 Đặc trưng đơn ánh và toàn ánh cho đồng cấu của các đối đại số phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Mô tả Tannaka của các đồng cấu giữa các lược đồ nhóm . . 47 3.3 Đối đại số hữu hạn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Cấu trúc của lược đồ nhóm affine phẳng trên một vành định giá rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.1 Lược đồ nhóm affine trên một vành định giá rời rạc sinh ra từ phép nổ Neron . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.4.2 Đồng cấu giữa các lược đồ nhóm cảm sinh một đẳng cấu giữa các thớ tổng quát và cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 Tính phẳng của đại số Hopf trên một đại số Hopf con của nó trên vành Dedekind 64 4.1 Ứng dụng của tiêu chuẩn phẳng trung thành trong trường hợp đại số Hopf con là hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Tính xạ ảnh trên một đại số Hopf con chuẩn tắc hữu hạn . 75 iiTài liệu tham khảo 81Kết luận 85Các công trình liên quan đến luận án 86 iiiTóm tắt Luận án nghiên cứu các lược đồ nhóm affine phẳng và đối ngẫu Tannakatrên một vành Dedekind. Các kết quả nhận được cho phép nghiên cứu đồngcấu giữa các lược đồ nhóm affine phẳng trên một vành Dedekind, cấu trúccủa lược đồ nhóm affine phẳng trên một vành định giá rời rạc. Cuối cùngchúng tôi nghiên cứu tính phẳng trung thành, tính xạ ảnh của một đại sốHopf trên một đại số Hopf con của nó trên các vành Dedekind. Nội dungluận án bao gồm 4 chương như sau. Chương 1 giành cho phần kiến thức chuẩn bị về vành Dedekind, kháiniệm đối đại số, song đại số và đại số Hopf trên một vành Dedekind. Cáckhái niệm về lược đồ nhóm affine và các biểu diễn, khái niệm cho phépnổ Neron, chuyển cơ sở của các phạm trù và một số khái niệm cơ bản vềphạm trù ten xơ cộng tính, phạm trù ten xơ aben cũng được giới thiệu.Phần cuối chương trình bày một kết quả mới: Tiêu chuẩn cho tính phẳngtrung thành (Định lí 1.4.4). Chương 2 đưa ra chứng minh trực tiếp ngắn gọn một kết quả củaSaavedra về đối ngẫu Tannaka cho các đối đại số phẳng được phát biểutrong Định lí 2.1.8. Định lí này được mở rộng thành đối ngẫu Tannakacho các lược đồ nhóm affine phẳng và nó có liên hệ đến công trình củaWedhorn, (tham khảo [31] và Định lí 2.1.12). Đồng thời chúng tôi hoànthiện kết quả của Wedhorn để đưa ra đối ngẫu cho một dàn Tannaka (Địnhlí 2.2.8). Ví dụ minh họa cũng được giới thiệu lần lượt cho từng đối ngẫu. Trong Chương 3, các Mệnh đề 3.1.1, 3.1.3 lần lượt đưa ra các điều kiệnsao cho một đồng cấu giữa các đối đại số là đơn ánh, đơn ánh đặc biệt hoặclà toàn ánh. Ứn ...