Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc

Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc gồm 5 chương, trình bày về một số kiến thức chuẩn bị, phân lớp các hàm tử monoidal và ứng dụng, nhóm phạm trù chặt chẽ và mở rộng nhóm kiểu môđun chéo, nhóm phạm trù phân bậc chặt chẽ và mở rộng nhóm đẳng biến, Ann phạm trù chặt chẽ và mở rộng kiểu E hệ chính quy.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Hệ nhân tử trog nhóm phạm trù phân bậc §¹i häc huÕ Trêng ®¹i häc s ph¹m ph¹m thÞ cóc HÖ nh©n tötrong nhãm ph¹m trï ph©n bËc Chuyªn ngµnh: §¹i sè vµ Lý thuyÕt sè M· sè: 62. 46. 05. 01 luËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc HuÕ - 2014LuËn ¸n ®îc hoµn thµnh t¹i: Trêng §¹i häc s ph¹m, §¹i häc HuÕNgêi híng dÉn khoa häc: 1. PGS. TS. NguyÔn TiÕn Quang 2. GS. TS. Lª V¨n ThuyÕtPh¶n biÖn 1:Ph¶n biÖn 2:Ph¶n biÖn 3:LuËn ¸n sÏ ®îc b¶o vÖ t¹i Héi ®ång chÊm luËn ¸n cÊp §¹i häc HuÕ häp t¹i:Vµo håi ... giê ... ngµy ... th¸ng ... n¨m 2014Cã thÓ t×m hiÓu luËn ¸n t¹i: - Trung t©m häc liÖu - §¹i häc HuÕ - Th viÖn Trêng §¹i häc s ph¹m - §¹i häc HuÕ Më ®Çu Sau khi kh¸i niÖm ph¹m trï monoidal (hay ph¹m trï tenx¬) ®îc ®Ò xuÊtbëi J. BÐnabou, S. Mac Lane, G. M. Kelly, ... vµo ®Çu nh÷ng n¨m 60 cña thÕkû tríc, nã ®· ®îc nhiÒu ngêi quan t©m nghiªn cøu vµ ph¸t triÓn kh¸ nhanh.Ph¹m trï monoidal ®îc mÞn hãa ®Ó trë thµnh ph¹m trï víi cÊu tróc nhãmkhi bæ sung thªm kh¸i niÖm vËt kh¶ nghÞch. Trong trêng hîp ph¹m trï nÒnlµ mét groupoid (nghÜa lµ mäi mòi tªn trong ph¹m trï ®Òu lµ ®¼ng cÊu) th× tathu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï. Trong trêng hîp nhãm ph¹m trï cã thªmrµng buéc giao ho¸n th× ta thu ®îc kh¸i niÖm nhãm ph¹m trï ®èi xøng (hayph¹m trï Picard. Nh÷ng t¸c gi¶ ®Çu tiªn nghiªn cøu vÒ nhãm ph¹m trï mµ ta cã thÓ kÓ ®Õnlµ N. Saavedra Rivano, H. X. SÝnh, M. L. Laplaza, ... Trong luËn ¸n cña m×nhn¨m 1975, H. X. SÝnh ®· m« t¶ cÊu tróc cña nhãm ph¹m trï vµ ph¹m trï Picardvµ ph©n líp chóng bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu 3 cña c¸c nhãm. KÕt qu¶ nµy®· cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lý thuyÕt nhãm ph¹m trï, ®èi ®ång ®iÒunhãm vµ bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn cña Schreier - Eilenberg - Mac Lane.Sau ®ã, lý thuyÕt nhãm ph¹m trï víi tÝnh kh¸i qu¸t cña nã ngµy cµng cã nhiÒuøng dông. C¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc ®îc giíi thiÖu lÇn ®Çu tiªn bëi A. Frohlichvµ C. T. C. Wall (1974). Vµo n¨m 2002, A. M. Cegarra vµ c¸c céng sù ®· chøngminh ®Þnh lý ph©n líp chÝnh x¸c cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï ph©n bËc vµc¸c hµm tö monoidal ph©n bËc bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu ®¼ng biÕn chiÒu thø 3.Sau ®ã, c¸c kÕt qu¶ nµy ®· ®îc ¸p dông ®Ó ®a ra lêi gi¶i thÝch hîp cho bµito¸n më réng ®¼ng biÕn cña nhãm víi h¹t nh©n kh«ng aben. Nhãm ph¹m trï bÖn ®îc xÐt tíi lÇn ®Çu bëi A. Joyal vµ R. Street (1993)nh mét më réng cña ph¹m trï Picard, trong ®ã c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ®· 3®îc ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu aben Hab (M, N ). Bµi to¸n ph©n líp®ång lu©n cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖn ph©n bËc, vµ trêng hîp riªngcña nã lµ ph¹m trï c¸c ph¹m trï Picard ph©n bËc ®· ®îc A. M. Cegarra vµ E.Khmaladze gi¶i quyÕt vµo n¨m 2007. Vµo n¨m 2010, N. T. Quang ®· giíi thiÖu mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho bµito¸n ph©n líp ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï Γ-ph©n bËc dùa trªn ph¬ng ph¸p 1hÖ nh©n tö (hay gi¶ hµm tö theo nghÜa cña A. Grothendieck). Ph¬ng ph¸p nµycã nhiÒu triÓn väng trong viÖc ¸p dông cho ph¹m trï c¸c nhãm ph¹m trï bÖnΓ-ph©n bËc. NÕu nh nhãm ph¹m trï ®îc xem nh lµ mét phiªn b¶n ph¹m trï cña cÊutróc nhãm th× vµo n¨m 1988 N. T. Quang ®· ®a ra kh¸i niÖm Ann-ph¹m trï,xem nh mét ph¹m trï hãa cña kh¸i niÖm vµnh, víi nh÷ng ®ßi hái vÒ tÝnh kh¶nghÞch cña c¸c vËt vµ cña c¸c mòi tªn trong ph¹m trï nÒn. §Æc biÖt, líp c¸cAnn-ph¹m trï chÝnh quy (rµng buéc ®èi xøng tháa m·n ®iÒu kiÖn cX,X = id®èi víi mäi vËtX ) ®· ®îc N. T. Quang ph©n líp bëi nhãm ®èi ®ång ®iÒu cña 3®¹i sè kÕt hîp HShu (R, M ) theo nghÜa cña Shukla. Sau ®ã, bµi to¸n ph©n lípc¸c Ann-hµm tö ®· ®îc N. T. Quang vµ D. D. Hanh (2009) gi¶i quyÕt nhê c¸cnhãm ®èi ®ång ®iÒu chiÒu thÊp cña ®èi ®ång ®iÒu vµnh Mac Lane, vµ chØ ramèi liªn hÖ gi÷a bµi to¸n më réng vµnh vµ lý thuyÕt c¶n trë cña c¸c Ann-hµmtö. GÇn ®©y nhÊt (2013), bµi to¸n ph©n líp c¸c Ann-ph¹m trï trong trêng hîptæng qu¸t ®· ®îc N. T. Quang gi¶i quyÕt trän vÑn. M«®un chÐo cña c¸c nhãm ®îc J. H. C. Whitehead ®a ra vµo n¨m 1949trong c«ng tr×nh nghiªn cøu cña «ng vÒ biÓu diÔn 2-d¹ng ®ång lu©n mµ kh«ngcã sù trî gióp cña lý thuyÕt ph¹m trï. Vµo n¨m 1976, R. Brown vµ C. Spencer®· chØ ra r»ng mçi m«®un chÐo ®Òu x¸c ®Þnh mét G -groupoid (nghÜa lµ, métnhãm ph¹m trï chÆt chÏ) vµ ngîc l¹i, do ®ã m«®un chÐo cã thÓ ®îc nghiªncøu bëi lý thuyÕt ph¹m trï. KÕt qu¶ nµy cho phÐp x¸c lËp mèi liªn hÖ gi÷a lýthuyÕt nhãm ph¹m trï víi m«®un chÐo, mét kh¸i niÖm c¬ b¶n vµ cã nguån gèctõ t«p« ®¹i sè. Bµi to¸n më réng nhãm kiÓu m«®un chÐo, mét d¹ng kh¸i qu¸t cña bµi to¸nmë réng nhãm cæ ®iÓn, ®îc P. Dedeker giíi thiÖu n¨m 1964 ®· ®îc R. Brownvµ O. Mucuk gi¶i quyÕt (1994), trong ®ã c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶i thÝch vµ chøng minh®Þnh lý vÒ sù tån t¹i vµ ph©n líp c¸c më réng lo¹i nµy b»ng c¸ch sö dông ph¬ngph¸p phøc chÐo, t¬ng tù nh ph¬ng ph¸p phøc xÝch trong ®¹i sè ®ång ®iÒu.Mét d¹ng kh¸i qu¸t kh¸c cña bµi to¸n më réng nhãm cæ ®iÓn lµ bµi to¸n mëréng nhãm ®¼ng biÕn ®· ®îc A. M. Cegarra vµ c¸c ®ång t¸c gi¶ gi¶i quyÕt cãsö dông kÕt qu¶ cña lý thuyÕt nhãm ph¹m trï ph©n bËc. Kh¸i niÖm m«®un chÐo cña c¸c nhãm cña J. H. C. Whitehead (1949) còng®· ®îc tæng qu¸t hãa theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Vµo n¨m 2002, H. -J. Baues®· giíi thiÖu kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c k-®¹i sè (k lµ trêng). Sau ®ã, 2H. -J. Baues vµ T. Pirashvili (2004) ®· thay thÕ trêng k bëi vµnh giao ho¸n Kvµ gäi c¸c m«®un chÐo trªn c¸c K-®¹i sè lµ song m«®un chÐo. §Æc biÖt, víiK = Z th× thu ®îc kh¸i niÖm song m«®un chÐo trªn c¸c vµnh. Kh¸i niÖm m«®un chÐo trªn c¸c nhãm cã thÓ ®îc x¸c ®Þnh trªn vµnh theomét c¸ch kh¸c, mµ chóng t«i gäi lµ E-hÖ. Trêng hîp ®Æc biÖt cña E-hÖ, E-hÖch ...