Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức

Luận án Tiến sĩ Toán học "Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức" trình bày các nội dung chính sau: Giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phức đơn hình, iđêan Stanley-Reisner; Nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức; Nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứng dụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thứcVIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRƯƠNG THỊ HIỀN LŨY THỪA HÌNH THỨC CỦA CÁC IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS. Trần Nam Trung HÀ NỘI - 2023Tóm tắt Cho R = k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức trên trường k, r biến x1 , . . . , xrvới r 1. Cho I là iđêan đơn thức của R và I (n) là lũy thừa hình thức thứ ncủa I. Luận án nghiên cứu về hàm chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford(gọi tắt là chỉ số chính quy) của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức I,ký hiệu reg(I (n) ). Dựa trên việc nghiên cứu về đa diện lồi, các môđun đốiđồng điều địa phương, luận án đã đạt được một số các kết quả chính vềdáng điệu tiệm cận của hàm chỉ số chính quy reg(I (n) ) khi I là iđêan đơnthức. Đồng thời, luận án cũng đưa ra một chặn trên tốt cho reg(I (n) ) khiI = I∆ là iđêan Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ và áp dụng trongtrường hợp I = I(G) là iđêan cạnh của đồ thị G. Cuối cùng, luận án chỉra một chặn trên cho chỉ số ổn định của chỉ số chính quy, reg-stab(J(G)),trong trường hợp J(G) là iđêan phủ của đồ thị hai phần G. Luận án được chia làm 04 chương. Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả của phứcđơn hình, iđêan Stanley-Reisner, đồ thị; trình bày công thức Hochster,công thức Takayama; và nghiên cứu một số tính chất của các đa diện lồi. Chương 2, chúng tôi nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của hàm chỉ sốchính quy của lũy thừa hình thức của iđêan đơn thức. Chương 3, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên của chỉ số chính quy củalũy thừa hình thức của iđêan đơn thức không chứa bình phương và ứngdụng vào trường hợp iđêan cạnh của đồ thị. Chương 4, chúng tôi nghiên cứu về chặn trên cho chỉ số ổn địnhreg-stab(J(G)) với G là đồ thị hai phần và J(G) là iđêan phủ của đồ thị. iiAbstract Let R = k[x1 , . . . , xr ] be a polynomial ring over a field k with r variablesx1 , . . . , x r , r 1. Let I be a monomial ideal of R and I (n) be the n-thsymbolic power of I. The thesis aims to focus on studying the Castelnuovo-Mumford regularity (briefly, regularity) function reg(I (n) ). Based on inves-tigating the theory of convex polyhedra and the local cohomology module,we obtain some main results for the asymptotic behavior of the regularityfunction reg(I (n) ) when I is a monomial ideal. In addition, the thesis alsogives a sharp upper bound for reg(I (n) ) when I = I∆ is a Stanley-Reisnerideal of a simplicial complex ∆ and applies to the case the edge ideal ofa simple graph. Finally, the thesis gives an upper bound for the stabilityindex of the regularity, reg-stab(J(G)), where J(G) is a cover ideal of abipartite graph G. The thesis is divided into four chapters. Chapter 1, we introduce some basic notions and results about the sim-plicial complex, Stanley-Reisner ideals, graphs, Hochster’s and Takayama’sformula. We also study some important properties of the convex polyhedra. Chapter 2, we investigate the asymptotic behavior of the regularityfunction reg(I (n) ), when I is a monomial ideal. Chapter 3, we study an upper bound for the regularity of symbolicpowers of the square-free monomial ideals and apply it to the case edgeideal of a simple graph. Chapter 4, we consider a bound for reg-stab(J(G)) in the case G is abipartite graph and J(G) is its cover ideal. iiiLời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thànhdưới sự hướng dẫn của TS. Trần Nam Trung. Các kết quả viết chung vớicác tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưavào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưatừng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Trương Thị Hiền ivLời cảm ơn Sau một thời gian tiến hành triển khai nghiên cứu, tôi đã hoàn thànhnội dung luận án Lũy thừa hình thức của các iđêan đơn thức. Luận ánđược hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy: TS. Trần Nam Trung. Thầyđã dành cho tôi nhiều thời gian, tâm sức, cho tôi nhiều ý kiến, nhận xétquý báu, chỉnh sửa những chi tiết nhỏ trong luận án, giúp luận án của tôiđược hoàn thiện hơn về cả mặt nội dung và hình thức. Thầy đã dạy chotôi kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu và cũng luôn quan tâm, giúpđỡ tôi trong mọi mặt. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâusắc của mình đến Thầy. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH. Lê Tuấn Hoa. Thầyđã luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có cơ hội tham gia cáchội thảo quan trọng, các buổi học về các vấn đề mới. Tôi cũng xin chânthành cảm ơn TS. Lê Xuân Dũng, TS. Đỗ Trọng Hoàng, TS. Nguyễn ThuHằng những người luôn quan tâm, động viên tôi trong toàn bộ quá trìnhhọc tập, nghiên cứu của mình. Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện toán học, Trung tâm Đào tạo sau đạihọc, các phòng ban của Viện Toán học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôihọc tập và nghiên cứu tại Viện. Tôi cũng trân trọng cảm ơn GS.TSKH.Ngô Việt Trung, PGS.TS. Đoàn Trung Cường, TS. Trần Giang Nam đãtạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia các buổi sinh hoạt khoa họccủa phòng Đại số-Lý thuyết số, các seminar tại Viện nghiên cứu cao cấpvề Toán. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Trung tâm Quốc tế Đào tạo và Nghiên cứu v ...