Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích" trình bày các nội dung chính sau: Sơ lược về mặt cực tiểu; Mặt f-cực tiểu; Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kết quả về mặt f-cực tiểu trong các không gian tích BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH ——————————— NGUYỄN THỊ MỸ DUYÊN MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. ĐOÀN THẾ HIẾU 2. TS. NGUYỄN HÀ THANH Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Hà Thanh. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác trước đó. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày tháng năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Mỹ Duyên ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy trách nhiệm của PGS. TS. Đoàn Thế Hiếu và TS. Nguyễn Hà Thanh. Tác giả xin được bày tỏ lòng tri ân sâu sắc tới các Thầy, người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình, chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới: - Khoa Toán học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh, - Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế, về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và những người bạn thân thiết đã luôn giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng năm 2021 Người thực hiện Nguyễn Thị Mỹ Duyên iii MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 1 SƠ LƯỢC VỀ MẶT CỰC TIỂU 6 1.1 Độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Mặt cực tiểu. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Một số kết quả quan trọng về mặt cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Dòng độ cong trung bình. Các nghiệm tự đồng dạng . . . . . . . . . . . 17 1.5 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 MẶT f -CỰC TIỂU 21 2.1 Đa tạp với mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Mặt f -cực tiểu. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Một số kết quả quan trọng về mặt f -cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Mối liên hệ giữa mặt f -cực tiểu và nghiệm tự đồng dạng của dòng độ cong trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ MẶT f -CỰC TIỂU TRONG CÁC KHÔNG GIAN TÍCH 34 3.1 Không gian mật độ với tích Riemann, tích cong, tích Lorentz . . 34 3.2 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu trong không gian tích cong R+ ×w Gn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Một số kết quả về mặt f -cực đại trong không gian tích Lorentz Gn × R1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Một số kết quả về mặt f -cực tiểu đối chiều cao. Đồ thị tự co rút đối chiều cao trong không gian Ơclit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ 73 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa BRn Hình cầu tâm O bán kính R trong Rn Gn Không gian Gauss n-chiều K Độ cong Gauss H, H~ Độ cong trung bình, vectơ độ cong trung bình Hf , H~f Độ cong trung bình, vec ...