Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng

Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm thiết lập tính giải được của các hệ phương trình cặp tích phân trong những không gian hàm tích hợp; nghiên cứu các phương pháp hữu hiệu tìm nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân; vận dụng các phương pháp hữu hiệu giải hệ phương trình tích phân kỳ dị, để từ đó tìm được nghiệm của phương trình tích phân.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp hệ phương trình cặp và ứng dụng Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¹i häc Th¸i Nguyªn NguyÔn ThÞ Ng©nMét sè líp hÖ ph¬ng tr×nh cÆp vµ øng dông LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch M· sè: 62 46 01 02TËp thÓ híng dÉn khoa häc: 1. TS. NguyÔn V¨n Ngäc 2. PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n Th¸i Nguyªn, 2013Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan ®©y lµ c«ng tr×nh nghiªn cøu cña t«i. C¸c kÕt qu¶ viÕtchung víi t¸c gi¶ kh¸c ®· ®îc sù nhÊt trÝ cña ®ång t¸c gi¶ khi ®a vµo luËn ¸n.C¸c kÕt qu¶ cña luËn ¸n lµ míi vµ cha tõng ®îc c«ng bè trong bÊt kú c«ngtr×nh khoa häc cña ai kh¸c. T¸c gi¶ luËn ¸n NguyÔn ThÞ Ng©n iLêi c¶m ¬n LuËn ¸n ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i khoa To¸n thuéc trêng §¹i häcS ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, díi sù híng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾ccña TS. NguyÔn V¨n Ngäc vµ PGS. TS. Hµ TiÕn Ngo¹n. C¸c ThÇy ®· truyÒncho t¸c gi¶ kiÕn thøc, kinh nghiÖm häc tËp vµ nghiªn cøu khoa häc. T¸c gi¶ xinbµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c ®èi víi c¸c ThÇy. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, t¸c gi¶ còng lu«n nhËn ®îc sù gãpý, ®éng viªn cña GS. TSKH. §inh Nho Hµo, PGS. TSKH. NguyÔn Minh TrÝ, TS.Ph¹m Minh HiÒn, Ths. §µo Quang Kh¶i (ViÖn To¸n häc, ViÖn Hµn l©m Khoahäc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam), GS. TSKH. NguyÔn V¨n MËu, PGS. TS. NguyÔnMinh TuÊn, PGS. TS. TrÇn Huy Hæ (trêng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, §¹ihäc Quèc gia Hµ Néi), GS. TSKH. Lª Hïng S¬n, PGS. TS. Phan T¨ng §a (khoaTo¸n - Tin øng dông, §¹i häc B¸ch Khoa Hµ Néi), PGS. TS. §Æng Quang ¸(ViÖn C«ng nghÖ Th«ng tin, ViÖn Khoa häc vµ C«ng nghÖ ViÖt Nam). T¸c gi¶xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù quan t©m gióp ®ì cña c¸c ThÇy. T¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy, c« gi¸o cïng c¸c anh chÞ em NCS,Cao häc trong seminar cña Bé m«n Gi¶i tÝch khoa To¸n, trêng §¹i häc Sph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Phßng Ph¬ng tr×nh vi ph©n - ViÖn To¸n häc,khoa To¸n - C¬ - Tin häc, trêng §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn - §¹i häc Quècgia Hµ Néi, ®· lu«n gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong nghiªn cøu khoa häc vµcuéc sèng. T¸c gi¶ xin tr©n träng c¶m ¬n Ban Gi¸m ®èc §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban §µot¹o Sau ®¹i häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn, Ban Gi¸m hiÖu trêng §¹i häc S ph¹m- §¹i häc Th¸i Nguyªn, c¸c Phßng Ban chøc n¨ng, Phßng Qu¶n lý ®µo t¹o Sau ii®¹i häc, Ban chñ nhiÖm khoa To¸n cïng toµn thÓ gi¸o viªn trong khoa, ®Æc biÖtlµ Bé m«n Gi¶i tÝch ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi, gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸tr×nh häc tËp nghiªn cøu vµ hoµn thµnh luËn ¸n. T¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n b¹n bÌ, ®ång nghiÖp, ®Æc biÖt lµ chång, c¸c concïng nh÷ng ngêi th©n trong gia ®×nh ®· gióp ®ì, ®éng viªn t¸c gi¶ trong qu¸tr×nh thùc hiÖn luËn ¸n.Môc lôc B×a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mét sè ký hiÖu dïng trong luËn ¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . viii Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 HÖ ph¬ng tr×nh cÆp tÝch ph©n Fourier tæng qu¸t 19 1.1 BiÕn ®æi Fourier cña hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Kh«ng gian S cña c¸c hµm c¬ b¶n gi¶m nhanh . . . . . . 20 1.1.2 BiÕn ®æi Fourier cña c¸c hµm c¬ b¶n . . . . . . . . . . . 20 1.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Kh«ng gian S 0 cña c¸c hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . 21 1.2.2 BiÕn ®æi Fourier cña hµm suy réng t¨ng chËm . . . . . . . 22 1.2.3 BiÕn ®æi Fourier cña tÝch chËp . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 C¸c kh«ng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Kh«ng gian H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 C¸c kh«ng gian H◦s (Ω), H◦,◦ s (Ω), H s (Ω) . . . . . . . . 24 1.3.3 §Þnh lý nhóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv 1.4 C¸c kh«ng gian Sobolev vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.2 PhiÕm hµm tuyÕn tÝnh liªn tôc . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5 To¸n tö gi¶ vi ph©n vect¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 ChuÈn vµ tÝch v« híng t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . 32 1.5.3 Nhóng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6 TÝnh gi¶i ®îc cña hÖ ph¬ng tr×nh cÆp . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.1 §Þnh lý duy nhÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 §Þnh lý tån t¹i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 HÖ ph¬ng tr×nh cÆp cña mét sè bµi to¸n biªn hçn hîp ®èi víi ph¬ng tr×nh ®iÒu hoµ vµ song ®iÒu hoµ trong miÒn h×nh d¶i 41 2.1 Bµi to¸n biªn hçn hîp thø nhÊt ®èi víi ph¬ng tr×nh ®iÒu hoµ . . . . . . . . . ...