Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự

Luận án nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quát chứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compact với giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứ tự.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNHTRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ------------------------------ VÕ VIẾT TRÍ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNHTRONG KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2016Mục lục1 PHƯƠNG TRÌNH TRONG KHÔNG GIAN VỚI K-CHUẨN 10 1.1 Không gian với thứ tự sinh bởi nón, không gian với K-chuẩn. . . . . . . 11 1.2 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian với K-chuẩn nhận giá trị trong không gian lồi địa phương. . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi họ nửa chuẩn. 18 1.3.2 Trường hợp không gian lồi địa phương xác định bởi cơ sở lân cận gốc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 Ứng dụng vào bài toán Cauchy trong thang không gian Banach. . . . . 31 1.4.1 Trường hợp bài toán không nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Trường hợp bài toán có nhiễu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 ÁNH XẠ CÔ ĐẶC THEO ĐỘ ĐO PHI COMPACT VỚI GIÁ TRỊ TRONG NÓN 44 2.1 Độ đo phi compact, ánh xạ cô đặc và định lý điểm bất động. . . . . . . 44 2.1.1 Độ đo phi compact nhận giá trị trong nón. . . . . . . . . . . . . 44 2.1.2 Ánh xạ cô đặc theo một độ đo và định lý điểm bất động. . . . . 47 2.2 Ứng dụng vào phương trình vi phân có chậm trong không gian Banach. 493 PHƯƠNG TRÌNH VỚI ÁNH XẠ ĐA TRỊ CHỨA THAM SỐ TRONG 1 2KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ 533.1 Bậc tôpô tương đối của lớp ánh xạ đa trị cô đặc. . . . . . . . . . . . . . 54 3.1.1 Tính nửa liên tục và compact của ánh xạ đa trị. . . . . . . . . . 54 3.1.2 Bậc tôpô tương đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.1.3 Tính bậc tôpô tương đối cho một số lớp ánh xạ và ứng dụng vào bài toán điểm bất động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.2 Phương trình với ánh xạ đa trị chứa tham số có chặn dưới đơn điệu. . . 67 3.2.1 Tính liên tục của tập nghiệm dương của phương trình. . . . . . 67 3.2.2 Khoảng giá trị tham số để phương trình có nghiệm: . . . . . . . 71 3.2.3 Ứng dụng vào một dạng bài toán điều khiển. . . . . . . . . . . . 733.3 Bài toán giá trị riêng, véc tơ riêng dương. . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Sự tồn tại véctơ riêng và giá trị riêng dương. . . . . . . . . . . . 81 3.3.2 Một số tính chất Krein-Rutman của giá trị riêng dương, véc tơ riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3 MỞ ĐẦU Lí thuyết về các không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón và các phương trìnhtrong chúng được hình thành từ những năm 1940 và được tổng kết bước đầu trong bàibáo [35] của M.G.Krein và M.A.Rutman. Nó được phát triển mạnh mẽ và đạt đượcnhững kết quả sâu sắc cả về mặt lí thuyết lẫn mặt ứng dụng trong giai đoạn 1950–1980 trong các công trình của M.A.Krasnoselskii và các học trò của ông [30, 31], củaE.N.Dancer, P.Rabinowitz, R.Nussbaum, W.V.Petryshyn,... [1, 12, 13, 44]. Lý thuyếtnày tiếp tục hoàn thiện cho đến tận hôm nay với những ứng dụng rộng rãi trong các lĩnhvực truyền thống (Lí thuyết phương trình vi phân, tích phân; các phương trình xuấtphát từ Vật lí, Hoá học, Sinh học) và các lĩnh vực mới (Lí thuyết điều khiển, Tối ưuhoá, Y học, Kinh tế học, Ngôn ngữ học,...) [2, 3, 9, 10, 18, 22, 23, 24, 25, 47, 48, 49, 50]. Hướng nghiên cứu tiếp theo của Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tựcũng giống các lĩnh vực Toán học khác, có lẽ sẽ đi theo hai hướng. Một mặt tiếp tụcphát triễn lí thuyết cho các lớp phương trình mới trong không gian thứ tự, mặt khácứng dụng lí thuyết vào giải quyết các bài toán của các lĩnh vực khác mà ban đầu cóthể không liên quan đến các phương trình trong không gian thứ tự. Trong luận án này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả nghiên cứu của mình theo haihướng nêu trên, đó là nghiên cứu một số lớp phương trình với ánh xạ đa trị tổng quátchứa tham số trong không gian có thứ tự và sử dụng chuẩn nón, độ đo phi compactvới giá trị trong nón để nghiên cứu phương trình trong không gian có thể không có thứtự. Dưới đây chúng tôi sẽ nêu các kết quả chính của luận án, mối liên quan của chúngvới các kết quả của các tác giả khác. I. Sử dụng chuẩn nón và độ đo phi compact với giá trị trong nón đểnghiên cứu các phương trình. Quan hệ thứ tự được sử dụng một cách tự nhiên trong nghiên cứu phương trình viphân, tích phân (nhờ Nguyên lí ...