Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui

Luận án Tiến sĩ Toán học "Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui" trình bày sơ lược về giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên; Lược đồ Euler-Maruyama khống chế cho phương trình vi phân ngẫu nhiên; Tính hội tụ, không âm và ổn định của lược đồ EulerMaruyama khống chế cải tiến; Lược đồ Milstein nửa ẩn cho hệ điểm không va chạm.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ -------------------------- LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ -------------------------- LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI Ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. Ngô Hoàng Long 2. NCVCC. TS. Nguyễn Hồng Hải HÀ NỘI – 2022 i LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả trìnhbày trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ côngtrình khoa học nào khác, các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Tháng 11 Năm 2022 Nghiên cứu sinh Lương Đức Trọng ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin-Viện Khoahọc và Công nghệ quân sự dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Ngô Hoàng Longvà NCVCC. TS Nguyễn Hồng Hải. Nghiên cứu sinh bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới TS. Nguyễn Hồng Hải, người đã dìu dắt tôi vào con đường nghiêncứu khoa học. Nghiên cứu sinh cũng xin cảm ơn PGS. TS. Ngô Hoàng Long,người đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn nghiên cứu và truyền cho nghiên cứusinh sự say mê nghiên cứu khoa học. Không chỉ là một người thầy hướng dẫnkhoa học tận tâm, đối với nghiên cứu sinh, PGS. TS. Ngô Hoàng Long cònlà một người thầy mẫu mực để noi theo, người có thể chia sẻ nhiều vui buồn,người luôn khích lệ nghiên cứu sinh vững vàng hơn trong cuộc sống. Nghiên cứu sinh trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Viện Khoa học và Côngnghệ Quân sự, Thủ trưởng Viện Công nghệ thông tin, Thủ trưởng và các cánbộ nhân viên Phòng Đào tạo, Viện chuyên ngành, đã tạo điều kiện cho nghiêncứu sinh về nơi làm việc, môi trường học thuật để học tập và nghiên cứu. Xincảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà nội, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho NCS trong quá trình học tập và công tác. Nghiên cứu sinh xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Thu Thủy, ThS. KiềuTrung Thủy đã đồng hành và cùng cộng tác trong khoa học. Cảm ơn TS.Nguyễn Ngọc Luân, người anh đã giúp đỡ, cho lời khuyên, lời động viên bổích để nghiên cứu sinh có thể hoàn thành Luận án. Cuối cùng, nghiên cứu sinh xin tỏ lòng biết ơn tới gia đình, những ngườiluôn bên cạnh và yêu thương vô điều kiện, luôn động viên và chia sẻ nhữngkhó khăn trong thời gian nghiên cứu sinh nghiên cứu khoa học và hoàn thànhLuận án. Tác giả luận án iii MỤC LỤCDANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . . . viDANH MỤC CÁC BẢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viiiDANH MỤC CÁC HÌNH VẼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixMỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Chương 1. SƠ LƯỢC VỀ GIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Tính bị chặn và liên tục của mô men nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 Tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . 14 1.2.1 Phương pháp Monte-Carlo đa cấp . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Định lý cơ bản của sự hội tụ theo trung bình . . . . . . 15 1.2.3 Lược đồ Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.4 Lược đồ Milstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3 Một số kết quả cơ bản về giải số nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2 Tính ổn định của nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ . . . . . . 23 1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ivChương 2. LƯỢC ĐỒ EULER-MARUYAMA KHỐNG CHẾ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN . . . . . . 25 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Một số điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Xấp xỉ Yamada-Watanabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Tốc độ hội tụ mạnh cho phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số dịch chuyển tăng trên tuyến tính và hệ số khuyếch tán liên tục H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6 Tốc độ hội tụ mạnh cho phươn ...