Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng

Luận án "Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng" gồm các nội dung chính như: Một số kết quả về phép tính vi phân suy rộng trong giải tích biến phân; Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân; Điều kiện tối ưu bậc hai cho một lớp bài toán quy hoạch nón.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số vấn đề trong giải tích biến phân bậc hai và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤNMỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCHBIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2023 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH HÀ ANH TUẤNMỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG GIẢI TÍCHBIẾN PHÂN BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu NGHỆ AN - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số vấn đề trong giải tích biếnphân bậc hai và ứng dụng” là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dướisự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu. Các kết quả viết chungvới các tác giả khác đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vàoluận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưa đượccông bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào từ trước đến nay. Tác giả Hà Anh Tuấn LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫnkhoa học của PGS. TS. Nguyễn Huy Chiêu. Tác giả xin được bày tỏ lòngcảm ơn sâu sắc nhất đến thầy hướng dẫn - Người đã đặt bài toán, địnhhướng nghiên cứu. Thầy đã dành nhiều công sức, kiên nhẫn, tận tình chỉbảo, dẫn dắt, giảng dạy cho tôi về những kiến thức, kinh nghiệm và tưduy của người làm Toán. Tôi xin cảm ơn Trường đại học Vinh, Khoa Toán học, phòng Đào tạoSau đại học, các phòng chức năng của Nhà trường, quý thầy cô trong Bộmôn Toán Giải tích, Hội đồng khoa học Khoa Toán đã cho tôi một môitrường học tập và nghiên cứu lý tưởng và tạo điều kiện thuận lợi để tôi cóthể hoàn thành luận án này. Tôi xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Banchủ nhiệm khoa Cơ bản, anh chị em và bạn bè đồng nghiệp tại TrườngĐại học Giao thông Vận tải TP Hồ Chí Minh. Xin chân thành cảm ơnTS. Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland, Mỹ) và TS. Lê Văn Hiển(Đại học Hà Tĩnh) đã có những trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứuvà đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bố Mẹ, cảm ơn anh, chị, em và nhữngngười thân trong gia đình, những người đã luôn động viên, kiên nhẫn vàmong đợi kết quả học tập của tôi. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn tới vợtôi Hoàng Yến và các con Huy Hoàng, Bá Dương, những người đã luônhy sinh rất nhiều, luôn lo lắng và mong mỏi tôi tiến bộ từng ngày. Tôixin được dành tặng luận án này cho những người mà tôi yêu thương. Nghệ An, ngày 10 tháng 03 năm 2022 Tác giả Hà Anh Tuấn 1 MỤC LỤCMở đầu 7Chương 1. Một số kết quả về phép tính vi phân suy rộngtrong giải tích biến phân 151.1. Các khái niệm và tính chất bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . 151.2. Hàm khả vi hai lần theo nghĩa mở rộng . . . . . . . . . . . 261.3. Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59Chương 2. Điều kiện tăng trưởng bậc hai và tính dưới chínhquy mêtric mạnh của dưới vi phân 602.1. Điều kiện tối ưu cho hàm chính thường nửa liên tục dưới dựavào đạo hàm đồ thị dưới gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2. Quan hệ tương đương giữa điều kiện tăng trưởng bậc hai vàtính dưới chính quy mêtric mạnh của dưới vi phân . . . . . . . . 762.3. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Chương 3. Điều kiện tối ưu bậc hai cho một lớp bài toánquy hoạch nón 933.1. Điều kiện cần tối ưu bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.2. Đặc trưng cực tiểu địa phương mạnh . . . . . . . . . . . . . 105 23.3. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113Kết luận chung và kiến nghị 114Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 116Tài liệu tham khảo 117 3 MỘT SỐ KÍ HIỆU ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN∃x tồn tại phần tử x∀x với mọi phần tử xf :X→Y ánh xạ đơn trị từ X vào YF :X⇒Y ánh xạ đa trị từ X vào YgphF đồ thị của ánh xạ F : X ⇒ YdomF miền hữu hiệu của ánh xạ F : X ⇒ YrgeF ảnh của ánh xạ F : X ⇒ YBr (x) hình cầu đóng tâm x bán kính r > 0B hình cầu đơn vị đóng∇f (x) đạo hàm của ánh xạ f tại xR tập hợp số thựcR− tập hợp số thực không dươngR+ tập hợp số thực không âmR tập số thực mở rộng R ∪ {±∞}Rn không gian Ơclit thực n chiềuRn+ tập hợp các phần tử trong Rn có mọi tọa độ không âmRn− tập hợp các phần tử trong Rn có mọi tọa độ không dương∅ tập hợp rỗngx∈X x là phần tử trong không gian XΩ⊂X Ω là tập hợp con của X 4h., .i tích vô hướng trong không gian Rnk.k chuẩn sinh bởi tích vô hướng h., .i trong Rn p tức là kxk = hx, xi với mọi x ∈ RnAT ma trận chuyển vị của ma trận AintΩ phần trong của tập hợp ΩconvΩ bao lồi của tập hợp ΩΩ⊥ phần bù trực giao của tập hợp Ω trong RnΩo nón cực của Ω trong RnclΩ bao đóng của tập Ω{xi } dãy phần tử trong Rn ϕx → x¯ x → x¯ và ϕ(x) → ϕ(¯ x) Ωx → x¯ ...