Luận án Tiến sĩ Toán học: Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

Mục đích của đề tài nhằm tìm kiếm một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một có thể xác định được sự tồn tại hay không một nghiệm tổng quát đại số và trong trường hợp xác định, hãy đưa ra các thuật toán tính tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚPPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚPPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 9460104 Phản biện thứ nhất : GS.TSKH. Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS. Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS. Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS. LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2021 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan mọi kết quả, nội dung của luận án “Nghiệm đại sốcủa một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” là do tôithực hiện dưới sự hướng dẫn của các thầy giáo TS. Ngô Lâm Xuân Châuvà TS. Lê Thanh Hiếu. Các nội dung và kết quả sử dụng trong Luận án đều có trích dẫn và chúthích nguồn gốc, kết quả là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sửdụng. Nếu có điều gì gian lận, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trướcpháp luật. Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021 Người thực hiện Hà Trọng Thi ii Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tạiKhoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫncủa TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các thầy đã chỉ bảotận tình và hướng dẫn tôi từ những bước đầu làm nghiên cứu. Các thầyhướng dẫn nghiêm túc và luôn tạo một tình cảm thân thiện trong suốtthời gian học tập. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học QuyNhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi họctập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán và Thốngkê cùng các thầy cô giáo trong Khoa đã luôn ủng hộ, động viên tôi trongsuốt thời gian tham gia học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, các đồngnghiệp và bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôitham gia học tập. Trân trọng. iiiMục lụcMở đầu 11 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Kiến thức cơ sở về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Mở rộng trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Kết thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Đại số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Trường vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Nghiệm của đa thức vi phân . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một 25 2.1 Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Phép biến đổi M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một 38 3.1 Nghiệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm . . . . . . . . . . . . 42 iv 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số . . . . . . . . . 454 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được 50 4.1 Phương trình vi phân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b . . . . 51 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw . . . . . 57 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b . . . 58 4.2 Phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.3 Phương trình vi phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được . 72 4.5 Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hữu tỷ được thuộc lớp autonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Kết luận 87Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án 90Tài liệu tham khảo ...