Luận án Tiến sĩ Toán học: Nguyên lý Hasse cho nhóm đại số trên trường toàn cục

Luận án Tiến sĩ Toán học "Nguyên lý Hasse cho nhóm đại số trên trường toàn cục" trình bày các nội dung chính sau: Một số kiến thức cơ sở về dạng toàn phương, dạng Hecmit và nguyên lý địa phương-toàn cục cho các dạng này; Những nghiên cứu về nguyên lý địa phương toàn cục liên quan đến tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông trên trường toàn cục; Nghiên cứu nguyên lý địa phương-toàn cục cho không gian thuần nhất trên trường toàn cục; Nghiên cứu về sự mở rộng một số nguyên lý Hasse kinh điển cho trường hợp mở rộng đại số vô hạn của trường toàn cục.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Nguyên lý Hasse cho nhóm đại số trên trường toàn cục VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGÔ THỊ NGOAN NGUYÊN LÝ HASSE CHO NHÓM ĐẠI SỐ TRÊN TRƯỜNG TOÀN CỤC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI 2017 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGÔ THỊ NGOAN NGUYÊN LÝ HASSE CHO NHÓM ĐẠI SỐ TRÊN TRƯỜNG TOÀN CỤC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 62.46.01.04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng HÀ NỘI 2017 i TÓM TẮT Luận án nghiên cứu số học của nhóm đại số trong mối liên quan đến các tính chất địa phương-toàn cục được xét trong những lớp các đa tạp đặc biệt như nhóm đại số trong mối quan hệ với các nhóm con của chúng hoặc các không gian thuần nhất liên quan. Luận án bao gồm bốn chương. Trong chương 1, chúng tôi trình bày lại một số kiến thức cơ sở về dạng toàn phương, dạng hecmit và nguyên lý địa phương-toàn cục cho các dạng này. Đồng thời, chúng tôi cũng nêu lại một số khái niệm và một số kết quả đã biết về nhóm đại số trên trường không đóng đại số và sự phân loại nhóm đơn. Trong chương 2, chúng tôi trình bày những nghiên cứu về nguyên lý địa phương- toàn cục liên quan đến tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông trên trường toàn cục. Kết quả chính của chương này là tính đúng đắn của nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất phân rã của nhóm đại số tuyến tính liên thông trên trường toàn cục. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu nguyên lý địa phương-toàn cục cho không gian thuần nhất trên trường toàn cục. Kết quả chính của chương này là nguyên lý Hasse cho không gian thuần nhất xạ ảnh của nhóm reductive liên thông trên trường hàm toàn cục. Như là một áp dụng, ta sẽ nhận được nguyên lý địa phương-toàn cục cho tính chất tựa phân rã của nhóm reductive liên thông trên các trường này. Trong chương 4, chúng tôi trình bày những nghiên cứu về sự mở rộng một số nguyên lý Hasse kinh điển cho trường hợp mở rộng đại số vô hạn của trường toàn cục. Kết quả chính của chương này là thiết lập nguyên lý Hasse cho các dạng hecmit (phản hecmit) trên các mở rộng đại số vô hạn của trường toàn cục. ii ABSTRACT In this thesis, we study arithmetic properties of algebraic groups in their relation with certain local-global principles originated from some splitting problems for con- nected linear algebraic groups over global fields. The thesis consists of four chapters. Chapter 1 presents some background of quardratic forms, hermit forms and some classical local-global principles for such forms. Further, some background of algebraic groups defined over non-algebraicaly closed fields and some related known results are given. In Chapter 2, we present some local-global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields. The main result in this chapter is the validity of some local-global principles related with some splitting problems for connected linear algebraic groups over global fields. In Chapter 3, we consider local-global principles for homogeneous spaces of con- nected linear algebraic groups over global fields. The main result in this chapter is the local-global principles for homogeneous spaces of connected redutive groups over global function fields. As an application, we deduce a local-global principle for the property of a reductive group being quasi-split over such fields. In Chapter 4, we extend some known classical local-global principles for (skew-) hermitian forms to the case of infinite algebraic extensions of global fields. The main result of this chapter is the validity of the Hasse principle for (skew-)hermitian forms defined over such fields. iii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TS. Nguyễn Quốc Thắng. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là những kết quả mới và chưa từng được ai công bố trong các công trình nào khác. Tác giả Ngô Thị Ngoan iv LỜI CẢM ƠN Mỗi khi nhìn về chặng đường học tập, nghiên cứu đã qua, trong tôi lại dâng trào thật nhiều tình cảm và cảm xúc khó tả. Trong suốt chặng đường gian nan nhiều thử thách ấy, có người thầy luôn dõi theo tôi, động viên, giám sát, giúp đỡ tôi và không cho phép tôi nản chí; người thầy vô cùng kính yêu của chúng tôi, người đã hướng dẫn tôi thực hiện Luận án này: GS. TS Nguyễn Quốc Thắng. Thật không lời nào có thể kể hết công lao của thầy tôi đối với tôi. Tôi chỉ có thể nói rằng, sự khó khăn trong công việc nghiên cứu của tôi, được đồng hành với sự vất vả, sự nghiêm khắc và kiên trì của thầy. Thầy đã luôn dành nhiều thời gian và công sức để hướng dẫn tôi. Thầy có thể giảng giải, chỉ dẫn cho tôi cả buổi, cả ngày, nhiều ngày: tận tâm và không mệt mỏi! Sự tận tâm ấy, cộng với niềm tin của thầy dành cho tôi đã trở thành động lực mạnh mẽ, giúp tôi vượt qua mọi khó khăn để có thể trưởng thành. Thời gian trôi qua nhanh, tôi nhận ra mái tóc thầy hôm nay đã thêm nhiều sợi bạc, có lẽ cũng vì tôi... Luận án đã được hoàn thành dưới sự dày công hướng dẫn của GS. TS Nguyễn Quốc Thắng. Từ sâu thẳm trong trái tim, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy! Và tôi sẽ cố gắng phấn đấu thật nhiều để xứng đáng với niềm tin của thầy! Tôi x ...