Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương trình parabolic ngược thời gian

Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian và cả hệ số phụ thuộc thời gian. Luận án nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Hilbert (L2) và trong không gian Banach (Lp, p > 1). Mời các bạn tham khảo nội dung chi tiết đề tài!

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Phương trình parabolic ngược thời gian 1 LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. ĐinhNho Hào và PGS. TS. Đinh Huy Hoàng. Tôi xin cam đoan rằng các kếtquả được trình bày trong luận án là mới và chưa từng được ai công bốtrước đó. Tác giả Nguyễn Văn Đức 2 MỤC LỤC TrangLời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Một số ký hiệu dùng trong luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Chương 1: Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số không phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.1 Một số khái niệm và bổ đề cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gianbằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a=1 . . 31 1.3 Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gianbằng bài toán giá trị biên không địa phương trong trường hợp a>1 . . 41 1.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5 Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Chương 2 Phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.1 Các kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.2 Hiệu chỉnh bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.3 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.4 Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Chương 3 Các kết quả ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.2 Phương pháp nhuyễn và kết quả ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.4 Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5 Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Kết luận chung và kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 121Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁNR: đường thẳng thựcRn : không gian Euclid n-chiềuC: mặt phẳng phức MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1.1. Bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thường xuyênxuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của công nghệ, địa vật lý, thủyđộng học, y học, xử lý ảnh,... Đó là những bài toán khi các dữ kiện củaquá trình vật lý không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúngtừ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Trong luận án này, chúng tôi đề cập tớiphương trình parabolic ngược thời gian. Đó là bài toán cho phương trìnhparabolic khi điều kiện ban đầu không được biết mà ta phải xác định nókhi biết điều kiện cuối cùng (đó là lý do tại sao bài toán này được gọi làngược thời gian). 1.2. Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất hiệntrong lý thuyết truyền nhiệt, khi ta cần xác định nhiệt độ tại một thờiđiểm nào đó trong quá khứ qua nhiệt độ đo đạc được tại thời điểm hiệntại ([31], [56], [67]), bài toán này cũng thường xuyên xuất hiện trong Địavật lý ([67]). Trong bài toán về nước ngầm, để xác định việc truyền tảicủa chất gây ô nhiễm tại một vùng nước ngầm người ta dùng phươngtrình khuếch tán - đối lưu (phương trình parabolic) ngược thời gian vớiđo đạc ở thời điểm hiện tại ([15]). Phương trình parabolic ngược thời giancũng thường xuyên xuất hiện trong khoa học vật liệu ([90]), thủy độnghọc ([15]), xử lý ảnh ([21], [60], [87]). Các bài toán này đã được nghiêncứu khá nhiều, tuy nhiên cũng chỉ cho một lớp phương trình đặc biệt; hơnthế nữa việc đề xuất các phương pháp số hữu hiệu để giải gần đúng cácbài toán này luôn là những vấn đề thời sự. 1.3. Một cách hình thức các bài toán trên có thể mô tả như sau: giảsử Lu(x, t) là một toán tử (có thể phi tuyến) elliptic đều. Ở đây, x là biến 5không gian, còn t là biến thời gian. Giả sử Qt = ∪s∈[0,t] Ω(s), Ω(s) là cácmiền giới nội trong Rn , t ∈ [0, T ]. Ta xét bài toán biên sau đây: ut = Lu(x, t) + F (x, t, u), (x, t) ∈ QT , ¯ u¯t=0 = u0 (x), x ∈ Ω0 , Bu = g(ξ, t), (ξ, t) ∈ ∪s∈[0,T ] ∂Ω(s)với B là toán tử điều kiện biên nào đó. Đây là Bài toán thuận thời gian.Trong thực tế, nhiều khi giá trị của u(x, t) tại thời điểm t = 0 không đượcbiết, mà ta lại biết giá trị của nó tại t = T và ta phải xác định lời giải củabài ...