Luận án tiến sĩ Toán học: Sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức

Mục đích nghiên cứu của luận án nhằm định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều. Đưa ra một dãy hàm hữu tỷ hội tụ nhanh ở đó sự hội tụ chỉ cần xét trên biên. Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án tiến sĩ Toán học: Sự hội tụ của dãy hàm hữu tỷ và chuỗi lũy thừa hình thức BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNGSỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶVÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THÀNH HƯNGSỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM HỮU TỶVÀ CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TS. Nguyễn Quang Diệu HÀ NỘI - NĂM 2018 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận án này được thực hiện bởi chính tác giả tại KhoaToán - Tin Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tìnhcủa GS. TS. Nguyễn Quang Diệu; các kết quả của Luận án là mới, đề tàicủa Luận án không trùng lặp và chưa từng được công bố trong các côngtrình công trình khác. Nghiên cứu sinh Lê Thành Hưng Lời cảm ơn Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biếtơn sâu sắc nhất tới GS. TS. Nguyễn Quang Diệu Người Thầy đã trực tiếpgiảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tạiKhoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Trong quá trình làm luậnán, tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sự chỉ dẫn khoa họcnghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ của thầy để tôi có đượcsự tự tin và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệpnghiên cứu khoa học của mình. Được làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc,tôi vô cùng biết ơn các thầy, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thànhviên của Seminar của Bộ môn Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm HàNội đặc biệt là GS. TSKH. Lê Mậu Hải, TS Tăng Văn Long và PGS. TS.Phùng Văn Mạnh về những chỉ dẫn và góp ý trực tiếp về đề tài của luậnán. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn Trường Cao đẳng Vĩnh Phúc, Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội và các đơn vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiệnthuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt quá trình học tập và nghiêncứu. Hà Nội, tháng 5 năm 2018 NCS. Lê Thành HưngMục lục Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Mở đầu 51 Tổng quan các vấn đề nghiên cứu 10 1.1 Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn . . . . . . . . 15 1.3 Hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn . . . . . . . . . . . . 172 Định lý hội tụ kiểu Vitali đối với các dãy hàm chỉnh hình không bị chặn đều 20 2.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Hội tụ nhanh của các hàm chỉnh hình và các hàm hữu tỉ . . 24 2.3 Một ví dụ về hội tụ nhanh của hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . 413 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức trong Cn 49 3.1 Một số kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . 52 2 34 Hội tụ của dãy các hàm hữu tỷ trên Cn 63 4.1 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2 Hội tụ có trọng của các hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . 66Kết luận và kiến nghị 78 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Tài liệu tham khảo 81 4 KÍ HIỆU• C ∞ (Ω) - Tập các hàm trơn vô hạn trên Ω• C 0,α (Ω) - Tập các hàm liên tục α-H¨older trên Ω• L∞ (Ω) - Không gian các hàm bị chặn trên Ω• L∞ loc (Ω) - Không gian các hàm bị chặn địa phương trên Ω• P SH(Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω• P SH − (Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω• M P SH(Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω• SH(Ω) - Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω• HP SH(Cn ) là tập các hàm đa điều hòa dưới thuần nhất trên Cn .• cap(E, D) = sup{ E (ddc u)n : u ∈ P SH(D), −1 < u < 0}.-Dung lượng R tương đối của tập Borel E trong D• {hm }m≥1 là một dãy các hàm nhận giá trị thực, C 1 −trơn được định nghĩa trên (0, ∞)• {χm }m≥1 nhận giá trị thực, liên tục xác định trên [0, ∞)• uj ↑ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ tăng tới u• uj ↓ u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ giảm tới u• 1A = χA - Kí hiệu hàm đặc trưng của tập A Mở đầu1. Lý do chọn đề tài Các dạng hội tụ của hàm hữu tỷ trong Cn là một phần quan trọng củagiải tích phức hiện đại, đây là một lĩnh vực hay vì nó có nhiều ứng dụngtrong thực tế và làm tiền đề cho việc nghiên cứu các vấn đề khác. Một trongnhững bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tíchtoán học đó là bài toán liên quan đến tính hội tụ của các dãy hàm. Các vấnđề liên quan đến tính hội tụ của dãy hàm đặt ra thường là để trả lời các câuhỏi: Các dãy hàm đã cho có hội tụ hoặc hội tụ đều hay không? và hội tụhay hội tụ đều đến hàm nào? hàm đó đã biết hay chưa biết? giả thiết nhưthế nào thì dãy hàm hội tụ nhanh, nhanh đều? Hội tụ điểm thì hội tụ đều?v.v... Trong lý thuyết Giải tích phức, tính hội tụ, hội tụ đều của các dãyhàm có liên quan chặt chẽ tới cực của nó. Những năm gần đây bằng cách sửdụng một số công cụ của lý thuyết đa thế vị các nhà toán học ở Vi ...