Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes

Luận án Tiến sĩ Toán học "Tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes" trình bày các nội dung chính sau: Nghiên cứu bài toán biên ban đầu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát; Nghiên cứu bài toán Cauchy cho hệ phương trình Navier-Stokes trong cả không gian ba chiều.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM VŨ THỊ THÙY DƯƠNG TÍNH CHÍNH QUY VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES Ngành: Toán giải tích Mã số: 946 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. Nguyễn Minh Trí THÁI NGUYÊN - 2021 i LỜI CAM ĐOAN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Minh Trí. Tôi xin cam đoan kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Thái Nguyên, ngày ... tháng ... năm 2021 Tác giả Vũ Thị Thùy Dương ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH. Nguyễn Minh Trí. Tác giả đã rất may mắn khi được thầy hướng dẫn và giúp tác giả làm quen với việc nghiên cứu khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn của mình. Thầy đã tận tình dìu dắt và luôn động viên, khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán, cùng các thầy cô phòng Giải tích, Viện Toán học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để giúp đỡ tác giả học tập và nghiên cứu. Bên cạnh đó, tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn tới Ban giám hiệu, khoa Khoa học cơ bản và bộ môn Toán, trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh đã luôn tạo điều kiện thuận lợi để tác giả có thể nghiên cứu và hoàn thành luận án của mình. Tác giả cũng xin gửi lời tri ân chân thành đến người anh, người thầy thứ hai, TS. Đào Quang Khải, phòng Phương trình đạo hàm riêng, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin trân trọng cảm ơn quỹ NAFOSTED đã tài trợ cho tác giả trong suốt quá trình học nghiên cứu sinh. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình của tác giả, những người đã luôn yêu thương, chia sẻ, động viên và giúp đỡ tác giả vượt qua mọi khó khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả Vũ Thị Thùy Dương Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt v Mở đầu 1 Tổng quan luận án 7 1 Một số kiến thức chuẩn bị 17 1.1. Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.1 Không gian các hàm trơn . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1.2 Không gian các hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.3 Không gian các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1.4 Không gian Besov, không gian Triebel . . . . . . . . . 21 1.1.5 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1.6 Không gian Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2. Một số toán tử cơ bản trong hệ phương trình Navier-Stokes . 29 1.2.1 Toán tử Helmholtz-Leray . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.2.2 Toán tử Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.2.3 Nửa nhóm Stokes e−tA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3. Nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . . . . . 34 iii iv 2 Tính chính quy và dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát 36 2.1. Tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier- Stokes trong miền tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 Các tính chất của toán tử song tuyến tính B(u, v) và nửa nhóm Stokes e−tA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3 Tính chính quy của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát . . . . . . . . . . . 45 2.2. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Các tính chất của toán tử Stokes trong miền tổng quát 52 2.2.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm yếu cho hệ phương trình Navier-Stokes trong miền tổng quát . . . . . . . . 55 Kết luận chương 2 60 3 Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình Navier-Stokes trong không gian ba chiều 61 3.1. Một số tính chất của nghiệm mạnh cho hệ phương trình Navier- Stokes trong không gian ba chiều . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.2. Dáng điệu tiệm cận của n ...