Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương

Luận án Tiến sĩ Toán học "Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương" trình bày các nội dung chính sau: Nghiên cứu bài toán phân loại đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương theo hướng phối hợp hợp lý giữa việc cố định số chiều (khi cần) với việc bổ sung cấu trúc; Mô tả đối đồng điều, tính toán số Betti của một số lớp các đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương i LỜI CAM ĐOAN Tên tôi là Cao Trần Tứ Hải, tác giả của luận án tiến sĩ: “Tính toán đối đồng điều và bài toán phân loại đại số Lie, siêu đại số Lie toàn phương” dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ và TS. Dương Minh Thành. Bằng danh dự của mình, tôi xin cam đoan đây là công trình do chính tôi nghiên cứu và thực hiện, không có phần sao chép bất hợp pháp nào từ các công trình nghiên cứu của các tác giả khác. Những kết quả trong luận án này mà không được trích dẫn là những kết quả tôi đã nghiên cứu được. Tất cả những sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận án đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận án đã được ghi rõ nguồn gốc. Người cam đoan Cao Trần Tứ Hải ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 0 Một số kiến thức và kết quả cơ bản 12 0.1 Nhóm Lie và đại số Lie - Đối đồng điều của đại số Lie . . . . . . . . . . 12 0.1.1 Nhóm Lie và Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 0.1.2 Các kiểu đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 0.1.3 Đối đồng điều của đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.2 Đại số Lie toàn phương và đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0.2.1 Khái niệm đại số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0.2.2 Tích super-Poisson và tính toán đối đồng điều đại của số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.3 Siêu đại số Lie toàn phương và đối đồng điều . . . . . . . . . . . . . . . 19 0.3.1 Khái niệm siêu đại số Lie và siêu đại số Lie toàn phương . . . . 19 0.3.2 Tích super Z × Z2 −Poisson trên siêu đại số ngoài và đối đồng điều của siêu đại số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 1 Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều hoặc đối chiều thấp và tính toán đối đồng điều 23 1.1 Phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1 . . . 24 1.1.1 Mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm và đồng dạng tỉ lệ . . . . . 24 1.1.2 Mô tả lớp Lie(n + 1, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1.3 Bài toán phân loại Lie(n + 1, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.2 Bài toán phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 2 32 iii 1.2.1 Bài toán wild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.2.2 Mô tả lớp Lie(n + 2, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.2.3 Bài toán phân loại Lie(n + 2, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.2.4 Một lớp con đặc biệt của Lie(n + 2, n) . . . . . . . . . . . . . . 38 1.3 Tính toán đối đồng điều của đại số Lie có đại số dẫn xuất thấp chiều hoặc đối chiều thấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3.1 Số Betti của các lớp đại số Lie giải được có ideal dẫn xuất 1 chiều 46 1.3.2 Số Betti của một lớp đại số Lie Kim cương tổng quát . . . . . . 51 1.4 Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Chương 2 Vài lớp các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều 56 2.1 Mở rộng kép, mở rộng T ∗ và bài toán phân loại đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.1 Mở rộng kép và mở rộng T ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều . . 58 2.2 Phân loại các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được có số chiều ≤ 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.3 Mô tả đối đồng điều của đại số Lie toàn phương giải được thấp chiều . 66 2.4 Số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . 69 2.4.1 Đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . . . . . . . . . . . 69 2.4.2 Tính toán số Betti thứ hai của các đại số Lie toàn phương lũy linh kiểu Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.5 Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Chương 3 Vài lớp các siêu đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều 83 3.1 Một số công cụ và phương pháp cần thiết cho bài toán phân loại siêu đại số Lie toàn phương và tính toán đối đồng điều . . . . . . . . . . . . 84 3.1.1 Quỹ đạo phụ hợp của đại số Lie symplectic sp(2n) . . . . . . . . 84 iv 3.1.2 Mở rộng kép và mở rộng kép tổng quát của siêu đại số Lie toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...