Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương

Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương nghiên cứu các bất đẳng thức trọng chuẩn loại yếu, mạnh, trên các trường địa phương, cho toán tử cực đại Hardy - Littlewood. Các kết quản nghiên cứu chính của luận án nằm ở nội dung chương 2 và chương 3. Mời bạn đọc cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam viÖn to¸n häc Hµ Duy H−ng TO¸N Tö TÝCH PH¢N CùC §¹I TR£N TR£N tr−êng §ÞA PH¦¥NG LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc 201 Hµ Néi - 2012 ViÖn khoa häc vµ c«ng nghÖ viÖt nam viÖn to¸n häc Hµ Duy H−ng TO¸N Tö TÝCH PH¢N CùC §¹I TR£N tr−êng §ÞA PH¦¥NG Chuyªn ngµnh: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ tÝch ph©n M· sè 62 : 62 46 01 05 LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Ng−êi h−íng dÉn khoa häc TSKH KH. GS. TSKH. NguyÔn Minh Ch−¬ng 201 Hµ Néi - 2012 L i cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên c u c a tôi. Các k t qu vi t chung v i tác gi khác đã đư c s nh t trí c a đ ng tác gi khi đưa vào lu n án. Các k t qu c a lu n án là m i và chưa t ng đư c ai công b trong b t kỳ công trình nào khác. Tác gi Hà Duy Hưng 1 2 TÓM T T Trong lu n án này, chúng tôi nghiên c u các b t đ ng th c tr ng chu n lo i y u, m nh, trên các trư ng đ a phương, cho toán t c c đ i Hardy- 1 Littlewood M , trong đó M f (x) = sup dγ |f (y)|dy và f ∈ L1 . Các loc γ∈Z q x+Bγ k t qu nghiên c u chính c a lu n án n m chương 2 và chương 3. Trong chương 2, chúng tôi ch ng minh m t s b đ ph quan tr ng trên trư ng đ a phương; xây d ng l i lý thuy t v các hàm tr ng Muckenhoupt A trên trư ng đ a phương và ng d ng vào gi i quy t m t bài toán tr ng n i ti ng v toán t M , đó là: v i đi u ki n nào c a tr ng ω thì M b ch n t L (ω) vào L (ω). Các k t qu đó đư c m r ng cho toán t c c đ i v i giá tr véctơ, t đó nh n đư c các b t đ ng th c tr ng chu n Fefferman-Stein. Chúng tôi đưa ra đư c m t đi u ki n c n và m t đi u ki n đ g n tương đương nhau, cho m t c p hàm tr ng đ có đư c b t đ ng th c ngư c lo i y u cho toán t c c đ i Hardy-Littlewood M ; chúng tôi áp d ng k t qu đó cho l p hàm L log+ L v i tr ng c a Zygmund. Cũng trong chương 2, chúng tôi gi i thi u m t l p toán t tích phân c c đ i m i và ch ng minh đư c m t ư c lư ng lo i y u cho nó. Trong chương 3, chúng tôi gi i quy t m t bài toán tr ng Muckenhoupt trên trư ng đ a phương: tìm đi u ki n c n và đ c a hàm tr ng v đ t n t i m t hàm tr ng u h u h n h u kh p nơi sao cho toán t M là b ch n t L (u) vào L (v). 3 ABSTRACT In this thesis, we investigate the weak and strong types of weighted norm inequalities for the Hardy-Littlewood maximal operator M , in which 1 M f (x) = sup dγ |f (y)|dy, here f ∈ L1 . Our main results are given loc γ∈Z q x+Bγ in chapter 2 and chapter 3. In chapter 2, we prove some necessary covering lemmas on local fields; a theory of Muckenhoupt weights is systematically introduced and we use it to solve a famous problem of characterizing all weight functions ω for which the operator M is bounded from L (ω) to L (ω). Then, we prove the Fefferman-Stein weighted inequalities for vector- valued maximal operator over local fields. We go on to obtain a sufficient and an almost similar necessary condition on a pair of weight functions for which a reverse weak type norm inequality holds for the Hardy-Littlewood maximal operator M ; we apply our result to the weighted Zygmund class L log+ L. Also in this chapter, we prove a weak type estimate for a new maximal integral operator. In chapter 3, we obtain a necessary and sufficient condition on weight functions v such that the Hardy-Littlewood maximal operator M is bounded from L (u) to L (v) for some finite a.e. function u. This characterization answers completely to a local field version of a similar question posed by Muckenhoupt. L i c m ơn Lu n án đư c th c hi n và hoàn thành t i Vi n Toán h c thu c Vi n Khoa h c và Công ngh Vi t Nam, dư i s hư ng d n t n tình và nghiêm kh c c a GS.TSKH Nguy n Minh Chương. Th y đã hư ng d n và truy n th cho tác gi nh ng kinh nghi m trong h c t p, nghiên c u khoa h c. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Th y. Trong quá trình nghiên c u và hoàn thành lu n án, tác gi luôn nhân đư c s giúp đ , góp ý c a GS.TSKH Hà Huy Khoái, GS.TSKH Nguy n M nh Hùng, PGS.TSKH Nguy n Minh Trí, PGS.TS Hà Ti n Ngo n, TS. Nguy n Văn Ng c, TS. Cung Th Anh. Tác gi xin chân thành c m ơn s quan tâm giúp đ c a các Th y. Tác gi xin chân thành c m ơn các th y, cô giáo cùng các anh ch em nghiên c u sinh, cao h c trong xemina 'Toán t gi vi phân, sóng nh trên các trư ng th c, p−adic', xemina c a Phòng Phương trình vi phân đã t o m t môi trư ng h c t p và nghiên c u thu n l i giúp tác gi hoàn thành lu n án này. T i đây tác gi đã nh n đư c nhi u ch d n, góp ý cũng như môi trư ng nghiên c u sôi n i và thân thi n, đi u không th thi u trong 4 5 quá trình nghiên c u, hoàn thành lu n án c a tác gi . Tác gi xin chân thành c m ơn Ban lãnh đ o Vi n Toán h c, Trung tâm Đào t o sau đ i h c cùng toàn th cán b , công nhân viên Vi n Toán h c đã t o m i đi u ki n thu n l i cho tác gi trong quá trình th c hi n lu n án. Tác gi xin trân tr ng c m ơn Trư ng THPT Chuyên Đ i h c Sư ph m đã t o đi u ki n giúp đ , đ ng viên tác gi trong su t th i gian làm nghiên c u sinh và th c hi n Lu n án. Tác gi xin chân thành c m ơn b n bè, đ ng nghi p, đ c bi t là cha m , v và con trai ...