Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ

Luận án này được dành để nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ: Số mũ Lyapunov, lý thuyết ổn định, không ổn định và sự tồn tại đa tạp ổn định. Cách xây dựng một toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình vi phân phân thứ, chúng ta thiết lập được một định lí về sự tồn tại của đa tạp ổn định gần điểm cân bằng hyperbolic cho một lớp phương trình vi phân phân thứ phi tuyến tương đối tổng quát trên các không gian hữu hạn chiều bất kì.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC HOÀNG THẾ TUẤNVỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC HOÀNG THẾ TUẤNVỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chuyên ngành: Phương trình Vi phân và Tích phân Mã số: 62.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TSKH. ĐOÀN THÁI SƠN GS. TSKH. NGUYỄN ĐÌNH CÔNG Hà Nội - 2016 Tóm tắt Luận án này được dành để nghiên cứu lý thuyết định tính của phương trình vi phânphân thứ: số mũ Lyapunov, lý thuyết ổn định, không ổn định và sự tồn tại đa tạp ổnđịnh. Luận án gồm 4 chương chính. Trong Chương 1, chúng ta nhắc lại các kiến thức cơ bản liên quan đến giải tích phânthứ: tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ và phương trình vi phân phân thứ. Ngoàira, chúng ta cũng đưa vào đây những tính chất quan trọng của hàm Mittag-Leffler.Những tính chất này có vai trò then chốt để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệmcủa phương trình vi phân phân thứ ở các chương tiếp theo. Trong Chương 2, đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng số mũ Lyapunov cổ điển cho cácnghiệm không tầm thường bất kì của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tínhvới hệ số liên tục và bị chặn luôn không âm. Sau đó, chúng ta định nghĩa một kiểusố mũ Lyapunov mới (số mũ Lyapunov phân thứ) và sử dụng số mũ này để đặc trưngtính ổn định của nghiệm tầm thường cho các phương trình vi phân phân thứ tuyếntính với hệ số liên tục và bị chặn. Cuối cùng, như một ví dụ minh họa, chúng ta tínhtường minh số mũ Lyapunov phân thứ cho tất cả các nghiệm không tầm thường củamột phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hằng hai chiều tùy ý. Trong Chương 3, trước hết chúng ta chứng minh rằng điểm cân bằng của phươngtrình vi phân phân thứ là ổn định tiệm cận nếu như phương trình tuyến tính hóa củanó tại điểm cân bằng đang xét cũng ổn định tiệm cận, tức là tất cả các giá trị riêngcủa ma trận hệ số trong phương trình tuyến tính hóa đều nằm trong hình quạt n απ o λ ∈ C {0} : | arg (λ)| > , 2ở đây α ∈ (0, 1) là cấp của đạo hàm phân thứ Caputo. Trong trường hợp ma trận hệsố của phương trình tuyến tính có phổ chứa ít nhất một giá trị riêng nằm trong hìnhquạt n απ o λ ∈ C {0} : | arg (λ)| < , 2chúng ta chỉ ra rằng nghiệm tầm thường của phương trình ban đầu không ổn định. Trong Chương 4, bằng cách xây dựng một toán tử Lyapunov–Perron phù hợp vớiphương trình vi phân phân thứ, chúng ta thiết lập được một định lí về sự tồn tại củađa tạp ổn định gần điểm cân bằng hyperbolic cho một lớp phương trình vi phân phânthứ phi tuyến tương đối tổng quát trên các không gian hữu hạn chiều bất kì. Abstract This thesis is devoted to study the qualitative theory of fractional differential equa-tions: Lyapunov exponent, stability and instability theory, and the existence of stablemanifolds. The thesis consists of four main chapters. In Chapter 1, we recall some basic knowledge of fractional calculus: fractional inte-gral, fractional derivative and fractional differential equations. Moreover, we also givesome important properties of Mittag-Leffler functions such as the integral representa-tion and the asymptotic expansion. These properties are used to establish the fractionalLyapunov exponent, to prove the asymptotic stability, instability and to show the exis-tence of the stable manifolds for fractional differential equations in the next chapters. In Chapter 2, we first show that the classical Lyapunov exponent for any nontrivialsolution of linear fractional differential equations is always nonnegative. We then definea new type of Lyapunov exponent called fractional Lyapunov exponent and use thisexponent to characterize the stability of the trivial solution for linear fractional differ-ential equations. Finally, to illustrate the theoretical results, we compute explicitly thefractional Lyapunov exponent of an arbitrary nontrivial solution of a general planartime-invariant linear fractional differential equation. In Chapter 3, we prove that an equilibrium of a nonlinear fractional differentialequation is asymptotically stable if its linearization at the equilibrium is asymptoticallystable, i.e., all eigenvalues of the linearization are in the sector n ...