Luận văn đề tài : Phương trình vi phân đại số

Ở thời điểm đó, người ta đã đưa ra nhiềuđịnh nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như đ ịnh nghĩa củaA.Poincaré, V.Rumyantsev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) côngbố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn đề tài : Phương trình vi phân đại số Luận vănPhương trình vi phân đại số MỤC LỤC TrangMở đầu ..................................... ................................................. .......... 2Chương I Một số khái niệm về hệ phương trình vi phân đại số ... 5 1.1 Phép chiếu - Chỉ số của cặp ma trận ........................ ................. 5 1.2 Hệ phương trình vi phân đại s ố tuyến tính với hệ s ố hằng ........ 71.3 Phân rã hệ phương trình vi phân đại số thành hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình đại s ố ................................. 10 1.4 Sự ổn định (Lyapunov) c ủa hệ phương trình vi phân đại s ố....... 13Chương II Bán kinh ổn định của hệ phương trình vi phân đại sốtuyến tính với ma trận hệ số hằng ............................................... ..... 15 2.1 Bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ...... 15 2.2 Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phương trình vi phân đại số ............................. ............... 24Chương III Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đạis ố tuyến tính với nhiễu động ............................................................. 34 3.1 Hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ s ố biến thiên 35 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định ....................................... 37 3.3 Công thức bán kính ổn định ....................................................... 44 3.4 Các trường hợp đặc biệt ..................................................... ........ 55Kết luận .................................................................... .......................... 59Tài liệu tham khảo ............................................................................. 60S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU Từ cuối thế kỷ XIX nhiều nhà khoa học đã quan tâm tìm lời giải chobài toán ổn định của chuyển động. Ở thời đ iểm đó, người ta đã đưa ra nhiềuđịnh nghĩa khác nhau về khái niệm này, chẳng hạn như đ ịnh nghĩa c ủaA.Poincaré, V.Rumy ants ev, ... Chỉ từ khi A.M. Lyapunov (1857-1918) c ôngbố công trình “Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động” vào năm1892 ở Nga và dịch sang tiếng Pháp (Problème général de la stabilité dumouvement) năm 1907, lý thuyết ổn định mới được nghiê n c ứu một cách c óhệ thống và t rở thành một bộ phận quan trọng trong lý thuyết đ ịnh tínhphương trình vi phân. Kể từ đó, lý thuyết ổn định đã được nhiều nhà khoa họctrên khắp thế giới quan t âm nghiên c ứu. Đến nay, đã hơn một thế kỷ trôi qua,lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toán học được nghiên c ứu s ôi nổi và đãthu được nhiều t hành tựu r ực rỡ, s âu s ắc , như : vật lý, khoa học kỹ t huật côngnghệ, sinh th ái học , ... Lyapunov đã giải quyết bài toán ổn đ ịnh bằng c ả haiphương pháp, đó là phương pháp s ố mũ đặc trưng Lyapunov (còn gọi làphương pháp phổ hay phương pháp thứ nhất của Lyapunov) và phương pháphàm Lyapunov (c òn gọi là phương pháp thứ hai của Lyapunov). Vào những năm 70 c ủa thế kỷ trước , một số bài toán c ó liên quan đếnphương trình vi phân dạng: A t x (t ) +B t x(t ) 0 ở đó, A , a là hằng s ố, C I , L Rn , x : I Rn , I ,B a, 0 t I . Đây chính là một dạng đặc biệt của phương trình vi phândet A tđại s ố (differential algebraic equation -DAE). Ngay sau đó, loại phương trìnhvi phân này được nhiều nhà toán học đi s âu nghiên c ứu. Để nghiên c ứu DAEngười t a thường làm như sau: phân r ã chúng nhờ các phép chiếu để được mộthệ phương trình vi phân thường và một hệ phương trình đại s ố. Ngoài ra,S ố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc -tnu.edu.vn 2cũng còn một vài phương pháp khác . Đến nay người ta c ũng đã tìm ra khánhiều kết quả cho phương trình vi phân đại s ố tương tự như ở phương trình viphân thường chẳng hạn như lý thuyết Floquet, tính ổn đ ịnh t iệm cận củanghiệm c ủa phương trình với ma trận hệ s ố hằng. Trong hơn hai thập kỷ qua, từ khái niệm bán kính ổn định màD.Hinr ichsen và A.J.Pritchard đưa ra, hai ông đã hình thành một hướngnghiê n cứu mới là nghiên c ứu tính ổn định vững của các hệ động lực dựa trênkhái niệm bán kính ổn định. Hướng nghiên c ứu này đã thu hút s ự chú ý vàtâm huyết của nhiều nhà toán học vì tính hiệu quả và tính t hời s ự của nó cũngnhư những ứng dụng trong c ác bài toán kỹ thuật. Nhóm tác giả Nguyễn HữuDư, Vũ Hoàng Linh đã nghiên c ứu s ự ổn định của hệ phương trình vi phânđại s ố với ma trận hệ s ố phụ thuộc tham s ố thời gian và đưa ra c ông thức bánkính ổn định trong b ài báo “ Stability radii for linear time - varyingdifferential - algebraic equations with respect to dynamic perturbations”được đăng tải trên JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS, June 2006 .Đây là bài báo c ơ s ở để thực hiện luận văn này. Luận văn gồm 61 t rang, ngo ài phần mở đầu, kết luận và tài liệu thamkhảo, gồm có ba chương:Chương I: Một s ố khái niệm về hệ phương trình vi phân đạ ...