Luận văn: Điều kiện cực trị cho bào toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn

Phép tính biến thiên cổ điển chỉ giới hạn xem xét những hàm và toán tử đủ trơn. Tuy nhiên trong nhiều bài toán thực tiễn, yêu cầu này không phải lúc nào cũng bảo đảm.Vào khoảng những năm 60 của thế kỹ trước, một thành tựa nỗi bật trong lý thuyết điều khiển tối ưu.............
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: Điều kiện cực trị cho bào toán biến phân và điều khiển tối ưu không trơn Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n Lª §×nh Träng§iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc Quy nh¬n - 2008 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr-êng §¹i häc Quy nh¬n Lª §×nh Träng§iÒu kiÖn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u kh«ng tr¬n LuËn v¨n th¹c sü to¸n häc Chuyªn ngµnh : To¸n Gi¶i tÝch M· sè : 60 46 01 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc TSKH - Huúnh V¨n Ng·i Quy nh¬n - 2008 1 Môc LôcMôc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Ch-¬ng 1. kiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1. Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. D-íi vi ph©n proximal vµ c«ng thøc tæng mê . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Nãn ph¸p tuyÕn proximal .................... 6 1.2.2. D-íi vi ph©n proximal ...................... 7 1.2.3. C«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal . . . . . . . . . . . 8 Ch-¬ng 2. ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n Bolza tæng qu¸t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1. Bµi to¸n Bolza tæng qu¸t - ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ ........... 12 2.2. Chøng minh ®Þnh lý 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.1 . D-íi vi ph©n cña hµm bao låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2.2 . Bµi to¸n phô: sù níi láng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 . §iÒu kiÖn cÇn cho bµi to¸n phô . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.4 . Chøng minh ®Þnh lÝ 2.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3. VÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ch-¬ng 3. bµi to¸n qui ho¹ch ®éng . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1. §iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. TÝnh chÝnh quy .............................. 40 3.3. Chøng minh ®Þnh lý3.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4. nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 Mét sè ký hiÖu Nãn ph¸p tuyÕn proximal cña S t¹i x. PNS (x) D-íi vi ph©n proximal cña f t¹i x.∂ p f (x ) Trªn ®å thÞ cña f .epif §å thÞ cña f .graphf MiÒn h÷u hiÖu cña f .domf Hµm chØ cña tËp S .δ S (x ) Giíi h¹n d-íi vi ph©n proximal cña f t¹i x.∂f (x) Kh«ng gian ®èi ngÉu cña X .X∗ Bao låi cña S .convS HÇu kh¾p n¬i.h.k.n Kho¶ng c¸ch tõ x tíi tËp S .ρS (x) 3 Më ®Çu PhÐp tÝnh biÕn ph©n cæ ®iÓn ra ®êi vµo thÕ kû 18, g¾n liÒn víi nh÷ngtªn tuæi lín nh-: Euler, Lagrange, Bernoulli,... nh»m môc ®Ých gi¶i quyÕt nh÷ngbµi to¸n cùc trÞ xuÊt hiÖn trong vËt lý vµ c¬ häc. Nh÷ng thµnh tùu vµ ph-¬ng ph¸pcña nã cµng ngµy cµng th©m nhËp vµo rÊt nhiÒu lÜnh vùc khoa häc, kû thuËt kh¸cnhau. PhÐp tÝnh biÕn ph©n cæ ®iÓn chØ giíi h¹n xem xÐt nh÷ng hµm vµ to¸n tö ®ñtr¬n. Tuy nhiªn trong nhiÒu bµi to¸n thùc tiÔn, yªu cÇu nµy kh«ng ph¶i lóc nµocòng ®¶m b¶o. Vµo kho¶ng nh÷ng n¨m 60 cña thÕ kû tr-íc, mét thµnh tùu næi bËttrong lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi -u ra ®êi ®ã lµ nguyªn lý cùc ®¹i Pontryagin, ®-îc®-a ra bëi nhµ to¸n häc xuÊt chóng ng-êi Nga Pontryagin. KÕt qu¶ nµy ®¸nh dÊumét mèc lín trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña lý thuyÕt ®iÒu khiÓn tèi -u. Trong kho¶ng vµi chôc n¨m gÇn ®©y, víi nh÷ng thµnh tùu cña gi¶i tÝch kh«ngtr¬n cô thÓ lµ lý thuyÕt vi ph©n tæng qu¸t, cho phÐp ta xem xÐt nh÷ng bµi to¸nbiÕn ph©n vµ ®iÒu khiÓn tèi -u mµ d÷ kiÖn cña nã kh«ng nhÊt thiÕt tr¬n. §iÒu nµykh«ng nh÷ng cã ý nghÜa vÒ mÆt lý thuyÕt mµ cßn më réng ph¹m vi øng dông, bëiv× nh÷ng bµi to¸n trong thùc tiÔn th-êng lµ kh«ng tr¬n. H¬n n÷a, nh÷ng ph-¬ngph¸p vµ thµnh tùu cña gi¶i tÝch kh«ng tr¬n cho phÐp ta ®-a ra chøng minh ®¬ngi¶n h¬n cho c¸c kÕt qu¶ biÕn ph©n cæ ®iÓn, vµ gióp cho ta cã mét c¸i nh×n nhÊtqu¸n trong mét bèi c¶nh tæng qu¸t nh÷ng bµi to¸n biÕn ph©n cæ ®iÓn. Môc ®Ých cña luËn v¨n kh«ng ngoµi viÖc ®äc hiÓu, hÖ thèng nh÷ng kÕt qu¶gÇn ®©y vÒ ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n biÕn ph©n tæng qu¸t Bolza vµ bµito¸n qui ho¹ch ®éng kh«ng tr¬n nh- ®iÒu kiÖn Euler, Weierstrass, nguyªn lý cùc®¹i. Chñ yÕu lµ nh÷ng kÕt qu¶ trong hai bµi b¸o cña Rockafellar vµ Ioffe [4], [5]. Ngoµi phÇn më ®Çu vµ kÕt luËn, luËn v¨n ®-îc chia lµm ba ch-¬ng. Ch-¬ng I: Tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm, ®Þnh lý sÏ dïng trong c¸c ch-¬ngsau. Chøng minh c«ng thøc mê cña d-íi vi ph©n proximal. 4 Ch-¬ng II: Nªu ®Þnh lý ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ cho bµi to¸n tæng qu¸t cña Bolzakhi d÷ kiÖn lµ kh«ng tr¬n vµ qui tr×nh chøng minh ®Þnh lý. §-a ra hai vÝ dô minhho¹ kÕt qu¶ cña ®Þnh lý. Ch-¬ng III: XÐt bµi to¸n qui ho¹ch ®éng trong tèi -u ®iÒu khiÓn. Chøngminh ®iÒu kiÖn cÇn cùc trÞ ...