Luận văn KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT

Trong toán học, một không gian mêtric (tiếng Anh: metric space) là một tập hợp mà trong đó khái niệm về khoảng cách giữa các phần tử được định nghĩa. Không gian mêtric gần nhất với hiểu biết trực quan của con người là không gian Euclid ba chiều. Mêtric Euclid của không gian này định nghĩa khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối chúng. Hình học của không gian phụ thuộc vào mêtric được chọn, và bằng các mêtric khác nhau, ta có thể xây dựng các hình học phi Euclid thú vị, chẳng hạn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CHẤT Đ I H C HU TRƯ NG Đ I H C SƯ PH M HU Đinh Văn PhúcKHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T B môn: Gi i tích KHÓA LU N T T NGHI P Ngư i hư ng d n: PGS.TS. Lê Văn H p Hu , Khóa h c 2009 - 2013 L I C M ƠN Khóa lu n này đư c hoàn thành không ch là k t qu c a s c g ng,n l c c a b n thân mà trư c h t là nh s giúp đ và hư ng d n t n tình,chu đáo c a th y giáo PGS.TS. Lê Văn H p, em xin bày t lòng bi t ơnchân thành và sâu s c đ n th y. Em xin thành c m ơn quý th y cô đã h t lòng d y d , giúp đ emtrong su t nh ng năm qua. Em xin g i đ n gia đình, nh ng ngư i thân yêu và nh ng ngư i b nc a em l i bi t ơn chân thành sâu l ng, nh ng ngư i luôn sát cánh bênem, đ ng viên và t o m i đi u ki n cho em đư c h c t p cũng như trongsu t quá trình hoàn thành khóa lu n này. Hu , ngày 6 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Đinh Văn PhúcM cl cL im đ u 31 M TS KI N TH C CHU N B 5 1.1 T p thương và quan h tương đương . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Không gian đ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Hàm đo đư c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Tích phân coi như m t hàm t p . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7 Không gian Lp , 1 ≤ p < +∞ . . . . . . . . . . . . . . . . 132 KHÔNG GIAN MÊTRIC NIKODYM VÀ TÍNH CH T 15 2.1 Đ o hàm Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Không gian mêtric Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . 25K t lu n 42Tài li u tham kh o 43 2 L IM Đ U Không gian mêtric và lý thuy t đ đo tích phân là m t ph n quantr ng trong lý thuy t hàm s bi n s th c, chúng cùng v i gi i tích hàmlàm n n t ng cho ki n th c toán h c c a sinh viên. Trong chương trình h c đ i h c, h c ph n không gian mêtric-không gian Tôpô đư c h c h ckì hai c a năm th hai, h c ph n lí thuy t đ đo và tích phân đư c h ch c kì m t năm th ba. Đây là nh ng h c ph n không th thi u đ i v isinh viên ngành toán b c đ i h c, các h c ph n này giúp chúng em làmquen và n m đư c khái ni m, tính ch t c a không gian mêtric, không gianđ đo và lí thuy t tích phân...Đ c bi t là không gian mêtric có nh ng tínhch t thú v , g n gũi v i hình h c. Khóa lu n này đi sâu nghiên c u v m ttrư ng h p đ c bi t c a không mêtric, đó là không gian mêtric Nikodym. Không gian mêtric Nikodym đư c xây d ng d a trên m t không gianđ đo h u h n và nó có m t s tính ch t khá thú v , có m i liên h ch tch v i không gian đ đo. N i dung c a khóa lu n đ c p đ n khái ni mkhông gian mêtric Nikodym, các tính ch t c a không gian này đ ng th ich ra m i liên h gi a nó v i không gian Lp , 1 ≤ p < ∞. N i dung nghiên c u c a em là d a trên cu n sách [7], trong đó cáckhái ni m, k t qu đư c nghiên c u và trình bày l i m t cách rõ ràng vàđ y đ hơn. Tuy không ph i là nh ng k t qu m i đư c tìm th y, nhưng 3 4v i tinh th n tìm tòi h c h i ki n th c m i, hy v ng đ tài này s đem l inhi u ki n th c b ích cho b n thân và nhi u thú v cho đ c gi . N i dungkhóa lu n g m hai chương: Chương I: M t s ki n th c chu n b . Chương II: Không gian mêtric Nikodym và tính ch t. Tuy đã có nhi u c g ng, song do h n ch v th i gian và năng l cb n thân nên khóa lu n không tránh kh i nh ng sai sót, r t mong đư cs quan tâm góp ý c a th y cô và các b n. Em xin chân thành c m ơn! Hu , ngày 6 tháng 05 năm 2013 Tác giChương 1M TS KI N TH C CHU NB1.1 T p thương và quan h tương đươngĐ nh nghĩa 1.1.1. Cho R là m t quan h hai ngôi trong A. Khi đó:i. R đư c g i là ph n x n u ∀x∈A, xRx.ii. R đư c g i là đ i x ng n u ∀x, y∈A, xRy ⇒ yRx.iii. R đư c g i là b c c u n u ∀x, y, z∈A, xRy và yRz ⇒ xRz .Đ nh nghĩa 1.1.2. M t quan h hai ngôi R trong A đư c g i là quan htương đương n u R th a mãn ba tính ch t: ph n x , đ i x ng và b c c u.Quan h tương đương đư c ký hi u là ∼.Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho ∼ là m t quan h tương đương trong X và x ∈X.Khi đó:i. T p h p x={ y∈X | y∼x} đư c g i là l p tương đương c a x theo quan ¯ 5 6h ∼.ii. T p h p X/∼ = { x | x∈X} đư c g i là t p h p thương c a X trên ¯quan h tương đương ∼.1.2 Không gian mêtricĐ nh nghĩa 1.2.1. Gi s X là m t t p b t kỳ khác tr ng. Ta g i hàm sd: X×X → R là m t mêtric (hay kho ng cách) trên X n u hàm s nàyth a mãn ba tiên đ sau đây:1. d(x, y ) 0, ∀x, y∈X ; d(x, y ) = 0 khi và ch khi x = y ,2. d(x, y ) = d(y, x) ( tính đ i x ng ),3. d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ), ∀x, y, z∈X ( b t đ ng th c tam giác ).Khi đó t p X cùng v i mêtric d đã cho đư c g i là m t không gian mêtricvà kí hi u là (X , d).Đ nh nghĩa 1.2.2. Không gian mêtric X đư c g i là tách đư c n u cóm t t p con h u h n hay đ m đư c A ⊂ X trù m t kh p nơi.M nh đ 1.2.3. ([7]. MĐ 26, tr 204). Không gian con c a m t khônggian mêtric tách đư c là tách đư c.Đ nh nghĩa 1.2.4. ...