Luận văn: LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Vấn đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên là một trong những vấnđề quan trọng của lý thuyết hàm và giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lýthuyết hệ động lực. Trong những năm gần đây, các kết quả và công cụ của lýthuyết Nevanlinna được áp dụng rộng rãi vào bài toán phân tích các hàmnguyên và hàm phân hình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: LÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --------------------------------- LÝ ANH TIẾNLÝ THUYẾT NEVANLINNA VÀ ỨNG DỤNG NGHIÊN CỨU PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS-TSKH Hà Huy Khoái Thái nguyên 2008 MỞ ĐẦU Vấn đề phân tích hàm phân hình, hàm nguyên là một trong những vấnđề quan trọng của lý thuyết hàm và giải tích phức, có nhiều ứng dụng trong lýthuyết hệ động lực. Trong những năm gần đây, các kết quả và công cụ của lýthuyết Nevanlinna được áp dụng rộng rãi vào bài toán phân tích các hàmnguyên và hàm phân hình. Mục đích của luận văn là trình bày cơ sở lý thuyết Nevanlinna, đặc biệtlà những phần liên quan đến bài toán phân tích hàm phân hình và trình bàymột số kết quả gần đây trong lý thuyết phân tích hàm nguyên và hàm phânhình. Nội dung luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong chương này trình bày cácđịnh lý cơ bản, quan hệ số khuyết và một số ví dụ ứng dụng. Chương 2: Phương trình hàm ( ) , trong chương này trình ()bày về sự tồn tại nghiệm đối với phương trình hàm ( ) , khi () , là 2 đa thức thuộc [ ]. , Để hoàn thành được luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vàbiết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Hà Huy Khoái, người thầy đã tận tình dạy bảo,hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trongtrường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện toánhọc Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá học. Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnhBắc Giang, trường THPT Lục Ngạn số 2 Bắc Giang, gia đình và các bạnđồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tác giảhọc tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên tháng 9 năm 2008 1 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT NEVANLINNA1.1. Hàm phân hình1.1.1. Định nghĩa. Điểm được gọi là điểm bất thường cô lập của hàm ( ) nếu hàm ( ) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chínhđiểm đó.1.1.2. Định nghĩa. Điểm bất thường cô lập của hàm ( ) được gọi là a) Điểm bất thường khử được nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của ( ) khi dần đến a. b) Cực điểm của ( ) nếu lim ( ) . c) Điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại lim ( ) .1.1.3. Định nghĩa. Hàm ( ) chỉnh hình trong toàn mặt phẳng phức đượcgọi là hàm nguyên.Như vậy, hàm nguyên là hàm không có các điểm bất thường hữu hạn.1.1.4. Định nghĩa. Hàm ( ) được gọi là hàm phân hình trong miềnnếu nó là hàm chỉnh hình trong D, trừ ra tại một số bất thường là cực điểm.Nếu thì ta nói ( ) phân hình trên , hay đơn giản, ( ) là hàm phânhình.* Nhận xét. Nếu ( ) là hàm phân hình trên thì trong lân cận của mỗiđiểm , ( ) có thể biểu diễn được dưới dạng thương của hai hàm chỉnhhình. Với các phép toán cộng và nhân các hàm số thông thường trên lớp cáchàm nguyên và phân hình, tập hợp các hàm nguyên sẽ tạo thành một vành và 2gọi là vành các hàm nguyên, kí hiệu là ( ) . Tập hợp các hàm phân hình sẽtạo thành một trường và gọi là trường các hàm phân hình, kí hiệu là ( ).1.1.5. Định nghĩa. Điểm gọi là cực điểm cấp 0 của hàm ( ) nếu 0 1trong lân cận của , hàm ( ) ( ) , trong đó ( ) là hàm chỉnh 0 ( 0)hình trong lân cận của và ( 0) 0 . 01.1.6. Tính chất. Nếu ( ) là hàm phân hình trên thì ( ) cũng là hàmphân hình trên . Hàm ( ) và ( ) cũng có các cực điểm tại những điểmnhư nhau. Đồng thời, nếu là cực điểm cấp 0 của hàm ( ) thì là 0 0cực điểm cấp 1 của hàm ( ).* Nhận xét. Hàm ( ) không có quá đếm được các cực điểm trên .1.1.7. Tính chất. Cho hàm ( ) chỉnh hình trong , điều kiện cần và đủ để ( ) không có ...