Luận văn: Một số tính chất của đa thức thực và áp dụng

Đa thức và các tính chất liên quan đến nó luôn đóng vai trò quan trọng trong đại số và giải tích. Đặc biệt, sau khi định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức trên trường số phức luôn có ít nhât một nghiệm,...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn:Một số tính chất của đa thức thực và áp dụngTRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN Dương Th Thu ThuýM T S TÍNH CH TC A ĐA TH C TH C VÀ ÁP D NG Lu n văn th c s toán h cChuyên ngành : Phương pháp Toán sơ c p Mã s : 60 46 40 Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TSKH. Nguy n Văn M u Quy Nhơn, năm 2008 0M cl c L i nói đ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Đ nh lý d ng Viète và các tính ch t liên quan 4 1.1 M t s tính ch t cơ b n c a đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các đ nh lý d ng Viète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Đ nh lý v s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . . . . . . . . . 82 Tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm 15 2.1 Nh n xét v nguyên hàm c a m t s đa th c d ng đ c bi t . . . . . . . 15 2.2 M t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm . . . 19 2.3 M t s b t đ ng th c liên quan đ n nguyên hàm c p hai . . . . . . . . 20 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1L i nói đ u Đa th c và các tính ch t liên quan đ n nó luôn đóng vai trò quan tr ng trongđ i s và gi i tích. Đ c bi t, sau khi đ nh lý cơ b n c a đ i s (do Gauss ch ng minh)kh ng đ nh r ng m i đa th c trên trư ng s ph c (khác h ng s ) luôn có ít nh t m tnghi m th c ho c ph c, thì bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c v i h sth c là v n đ đư c quan tâm hàng đ u c a nhi u th h các nhà toán h c. Nh ngk t qu đ u tiên theo hư ng này là c a Descartes v quy t c d u (thư ng đư c g ilà quy t c d u Descartes) đ xác đ nh s nghi m dương c a m t đa th c th c d avào s phân b d u c a dãy các h s c a đa th c đã cho. Ti p theo là các kh o sátkhác nhau v s nghi m c a đa th c trong m t kho ng cho trư c và các công th cbi u di n đa th c theo các tính ch t c a chúng. Nh công c gi i tích, đ c bi t làđ nh lý Lagrange và b đ Rolle, vi c kh o sát s nghi m th c c a các đa th c đ ohàm (đ o hàm c a m t đa th c th c) đư c ti n hành d dàng hơn. Đó là, khi đa th cP (x) ∈ R[x] có k nghi m th c thì đa th c P (x) s có ít nh t k − 1 nghi m th c. M t câu h i t nhiên n y sinh là: Khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i knghi m th c cho trư c s cho ta m t nguyên hàm (g i là đa th c nguyên hàm) x F 1 ( x) = P (t)dt (1) x1có đ k + 1 nghi m th c? Tương t , khi nào thì m t đa th c P (x) ∈ R[x] v i k nghi m th c cho trư c scho m t nguyên hàm c p s (s > 1) (g i là đa th c nguyên hàm c p s) d ng x F s ( x) = Fs−1 (x)dt (2) xscó đ k + s nghi m th c? 2 Lu n văn nh m t p trung gi i quy t các câu h i trên. Đó chính là các đ nh lýđ o c a đ nh lý Lagrange đ i v i l p các đa th c th c. Đ c bi t, đ i v i nh ng l pđa th c không th a mãn các đi u ki n (1) và (2), ta s xét bài toán n n l i đ thc a đa th c đó b ng cách thêm m t s nút n i suy đ các đi u ki n (1) và (2) đư ctho mãn. Ngoài ph n m đ u và k t lu n, lu n văn đư c chia thành 2 chương Chương 1 bao g m ba ph n, trong ph n đ u tác gi khái quát l i m t s ki nth c b tr v đa th c, đ o hàm c a đa th c và quy t c d u Descartes. Ph n th hailà các đ nh lý d ng Viète, nêu cách bi u di n đa th c qua h nghi m c a nguyên hàmk t h p v i phương pháp n i suy đa th c theo các y u t hình h c. Ph n ti p theo,tác gi nêu lên đ nh lý v s nghi m c a đa th c nguyên hàm. Đ nh lý 1.11; 1.13 chra đi u ki n c n và đ đ m t đa th c v i các nghi m đ u th c s cho m t nguyênhàm cũng có các nghi m đ u th c. Trên cơ s đó trình bày đi u ki n đ t n t i đath c nguyên hàm t i c p tuỳ ý cho trư c sao cho s nghi m th c c a các nguyên hàmđó tăng lên theo t ng c p c a nguyên hàm (Đ nh lý 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.17, 1.181.19 ). Chương 2 bao g m ba ph n, ph n đ u cũng chính là ph n tr ng tâm c a chươngnày. Tác gi đưa ra nh n xét v tính ch t nghi m c a các đa th c nguyên hàm cód ng đ c bi t và đưa ra cách n n l i đ th c a các đa th c đó đ các đa th c nh nđư c tho mãn đi u ki n (1) và (2) (Đ nh lý 2.1, 2.2). Ph n ti p theo, lu n văn trìnhbày m t s bài toán kh o sát s nghi m th c c a đa th c nguyên hàm. Ph n cu icùng, tác gi d a vào các tính ch t c a hàm l i, lõm đ bư c đ u xây d ng m t sd ng b t đ ng th c đ i v i đa th c nguyên hàm. Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n khoa h c đ y nhi t tâm và nghiêmkh c c a GS.TSKH. Nguy n Văn M u. Nhân d p này, tác gi xin đư c bày t lòngbi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v i Giáo sư - ngư i th y đã truy n đ tnhi u ki n th c quý báu cũng như nh ng kinh nghi m nghiên c u khoa h c trongsu t th i gian tác gi theo h c và nghiên c u đ tài. Đ ng th i, tác gi cũng xin bàyt lòng bi t ơn sâu s c đ n Ban Giám Hi u trư ng Đ i h c Quy Nhơn, Phòng Đàot o Đ i h c và Sau Đ i h c, các anh ch , b n bè l p cao h c Toán K8-Đ i h c QuyNhơn và gia đình đã t o m i đi u ki n thu n l i và đ ng viên tác gi trong su t quátrình h c t p, công tác và th c hi n đ tài lu n văn này. 3H th ng các ký hi us d ng trong lu n văn- deg f (x) là b c c a đa th c f (x).- F0(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c = 0,t c là F0(x) tho mãn đi u ki n F0(0) = 0.- Fc(x) là nguyên hàm (c p 1) c a đa th c f (x) ng v i h ng s c,t c là Fc (x) = F0 (x) + ...