Luận văn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Lý thuyết biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng củanhóm abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sauđó mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger. Lýthuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷ XIX trongcác công trình của Frobenius, Schur và Burnside.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vnMôc lôcLêi nãi ®Çu 21 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm 4 1.1 Nhãm ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 T¸c ®éng nhãm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Nhãm ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm 10 2.1 PhÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 BiÓu diÔn t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 C¸c vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn th¬ng 16 2.4.1 Tæng cña phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.2 TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.3 PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.4 PhÐp biÓu diÔn th¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . 19 2.6 §Æc trng cña phÐp biÓu diÔn h÷u h¹n . . . . . . . . . . . . . 233 BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius 24 3.1 §Æc trng hÖ trùc chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 BiÓu diÔn chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 HÖ trùc chuÈn c¸c ®Æc trng vµ sè c¸c biÓu diÔn bÊt kh¶ quy . 29 ø 3.4 ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 Lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm cã nguån gèc tõ lý thuyÕt ®Æc trng cñanhãm abel ®îc ph¸t biÓu cho c¸c nhãm cyclic bëi Gauss, Dirichlet vµ sau®ã më réng sang cho nhãm abel h÷u h¹n bëi Frobenius vµ Stickelberger. LýthuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n ®îc ph¸t biÓu vµo cuèi thÕ kû XIX trongc¸c c«ng tr×nh cña Frobenius, Schur vµ Burnside. Nãi mét c¸ch ®¬n gi¶n, lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm nghiªn cøu c¸c c¸chmµ mét nhãm t¸c ®éng trªn kh«ng gian vÐct¬ b»ng c¸c tù ®¼ng cÊu tuyÕntÝnh. Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm kh«ng chØ lµ mét phÇn quan träng trong ®¹isè hiÖn ®¹i mµ cßn cã nhiÒu øng dông quan träng trong lý thuyÕt sè, tæ hîpvµ c¶ vËt lý. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ ®äc hiÓu vµ tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬b¶n trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n vµ tr×nh bµy chøng minh cñaB.Zagier c«ng thøc Frobenius. Bè côc cña luËn v¨n cña chóng t«i gåm ba ch¬ng: Ch¬ng 1 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm. Trong ch¬ng nµychóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n nh: Nhãm ma trËn, t¸c ®éngnhãm, nhãm ®èi xøng. Nh÷ng kiÕn thøc nµy sÏ ®îc sö dông trong phÇn cßnl¹i cña luËn v¨n. Ch¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm. Trongch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm vµ mét sè vÝ dô ®¬n gi¶n ®Óminh ho¹ cho c¸c kh¸i niÖm cña phÐp biÓu diÔn nhãm. Ch¬ng 3 BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius. §©y lµch¬ng chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i métsè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ ®Æc biÖt lµchóng t«i d· tr×nh b ...