Luận văn: NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứngdụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dướitrên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compactthì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủX , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HÒANGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - năm 2009Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN XUÂN HOÀ NGUYÊN LÍ BIẾN PHÂN EKELAND VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRƢƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên - năm 2009Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục TrangLời nói đầuChương 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9 1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12 1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16 1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25 2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28 2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30 2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32 2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Trong giải tích, bài toán tìm điểm cực trị của hàm số có rất nhiều ứngdụng quan trọng. Một kết quả cổ điển chỉ ra rằng hàm f nửa liên tục dướitrên tập compact X thì sẽ đạt cực tiểu trên tập đó. Khi tập X không compactthì hàm f có thể không có điểm cực trị. Tuy vậy, với không gian mêtric đủ , hàm f bị chặn dưới ta vẫn có thông tin về điểm xấp xỉ cực tiểu. Cụ thể làXkhi hàm f bị chặn dưới ta luôn tìm được điểm  - xấp xỉ cực tiểu x , tức là inf X f  f ( x )  inf X f   .Hơn nữa, vào năm 1974, I.Ekeland đã phát biểu nguyên lí nói rằng với hàm fnửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian mêtric đủ X thì với mọi điểm - xấp xỉ cực tiểu x , ta luôn tìm được điểm x là cực tiểu chặt của hàm nhiễucủa hàm ban đầu, đồng thời f ( x)  f ( x ) . Không những thế, còn đánh giáđược khoảng cách giữa x và x . Từ khi ra đời, nguyên lí biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnhtrong giải tích hiện đại. Những ứng dụng của nguyên lí này bao trùm nhiềulĩnh vực như: Lí thuyết tối ưu, giải tích không trơn, lí thuyết điều khiển, líthuyết điểm bất động, kinh tế, . . . Trong những năm gần đây, nguyên lí này đã được mở rộng cho trườnghợp hàm f là ánh xạ đơn trị hoặc đa trị nhận giá trị trong không gian véc tơ. Mục đích của ...