Luận văn: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN

Phương trình Schrodinger là một trong những phương trình cơ bản nhấttrong lý thuyết cơ học lượng tử. Từ khi xuất hiện phương trình này đã có một sốlớn các công trình nghiên cứu các tính chất của nó. Trước đây phần lớn cácnghiên cứu tập trung vào phương trình Schrodinger tuyến tính. Gần đây một sốcác chuyên gia như T. Kato, T. Tao, C. Kening, … đã tập trung vào nghiên cứu:Phương trình Schrodinger phi tuyến....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------------------- Phan Thị Vân Huyền PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ---------------------------- Phan Thị Vân Huyền PHƢƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHI TUYẾN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. NGUYỄN MINH TRÍ THÁI NGUYÊN – 2009Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 1- MỤC LỤC TrangChương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1. Bất đẳng thức Holder…………………………………………….. 41.2. Không gian Lp……………………………………………………. 51.3. Không gian Sobolev……………………………………………… 81.4. Một số kết quả đã có của phương trình phi tuyến Schrodinger….. 101.5. Sự đánh giá cho đạo hàm cấp phân số của toán tử phi tuyến……. 12Chương 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT2.1. Định lý duy nhất………………………………………………….. 162.2. Bổ đề 2.2…………………………………………………………. 222.3. Chứng minh định lý 2.1………………………………………….. 252.4. Hệ quả……………………………………………… ……………. 27Chương 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA Hs - NGHIỆM Hs NGHIỆM TOÀN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ3.1. Sự tồn tại địa phương của Hs - nghiệm…………………………... 293.2. Hs nghiệm toàn cục với điều kiện ban đầu nhỏ…………………... 423.3. Định lý duy nhất cho Hs - nghiệm ………………………………. 47KẾT LUẬN……………………………………………………………. . 50TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………….. 51Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 2- MỞ ĐẦU Phương trình Schrodinger là một trong những phương trình cơ bản nhấttrong lý thuyết cơ học lượng tử. Từ khi xuất hiện phương trình này đã có một sốlớn các công trình nghiên cứu các tính chất của nó. Trước đây phần lớn cácnghiên cứu tập trung vào phương trình Schrodinger tuyến tính. Gần đây một sốcác chuyên gia như T. Kato, T. Tao, C. Kening, … đã tập trung vào nghiên cứu:Phương trình Schrodinger phi tuyến. M ục tiêu của luận văn này là giới thiệucông trình của T. Kato, một trong những công trình quan trọng trong hướngnghiên cứu này. Nội dung luận văn được chia thành ba chương Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ, bao gồm bất đẳng thức Holde r,không gian Lp, không gian Sobolev và một số ký hiệu hình học được sử dụngtrong luận văn. Ngoài ra phần mở đầu còn trình bày về một số kết quả đã có củaphương trình phi tuyến Schrodinger dựa theo các tài liệu [11, 12, 14]. Chương 2 ĐỊNH LÝ DUY NHẤT, bao gồm định lý duy nhất (phát biểu vàchứng minh định lý), một số chú ý và Hệ quả của nó về tính đặt chỉnh khôngđiều kiện. Chương 3 SỰ TỒN TẠI ĐỊA PHƢƠNG CỦA HS – NGHIỆM. HS –NGHIỆM TOÀN CỤC VỚI ĐIỀU KIỆN BAN ĐẦU NHỎ, bao gồm định lý vềsự tồn tại của Hs – nghiệm, với một vài sự hạn chế khi s  0, nếu m  7 và F()không là đa thức của  và  . Thêm vào độ trơn của F, giả thiết chính ở đây, là m m 4k1+ nếu s < , k <  nếu s = và k =  (không cần giả thiết) nếu m  2s 2 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn - 3- m . Hs – nghiệm đã được nghiên cứu chi tiết bởi Cazenave – Weissler [3], ởs> 2đây, không gian loại Besov đã được sử dụng như những không gian phụ trợ. Tasử dụng các không gian loại Lebesgue để thay thế, mà sự xuất hiện của nó thìthích hợp hơn cho vấn đề này. Khi đó chúng ta thu được những kết quả sau sựđánh giá cho khoảng T* của Hs – nghiệm u chỉ phụ thuộc vào ||  u(0)||2 (trongđó,  = (–)1/2) với giá trị nhất định nào đó của  < s, không phụ thuộc vào|| u(0) ||H s . Những đánh giá này dẫn tới một cách tự nhiên định lý về độ trơn.Ngoài ra định lý tồn tại tổng :Quát đã được chứng minh cho Hs – nghiệm toàncục với điều kiện ban đầu nhỏ, dưới điều kiện thêm vào chính là F() = O(||1+4/m) với  nhỏ; F() không cần phải là thuần nhất hoặc là lũy thừa giới hạn.Ở đây, lặp lại tính nhỏ của ||u(0)||H với  < s là đủ trong hầu hết các trườ ng hợp.Nếu F là một đa thức, thì khoảng biến thiên chấp nhận được của  được mởrộng. Luận văn được thực hiện với sự hướng dẫn nhiệt tình và đầy trách nhiệmcủa PGS.TS. Nguyễn Minh Trí. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Trường Đại học Sưp ...