Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

Bài toán Calderón đặt ra là nếu như ta hiểu ánh xạ Dirichlet-Neumann thì ta biết được gì về tính dẫn của vật thể dẫn điện. Trong luận văn này, công việc của người viết là trình bày ví dụ mở rộng của Alessandrini về bài toán Calderón như xét được tính ổn định và khôi phục lại tính dẫn của vật. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HIỀN BÀI TOÁN CALDERÓNTRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THU HIỀN BÀI TOÁN CALDERÓN TRONG HÌNH TRÒN ĐƠN VỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌCNgười hướng dẫn khoa học: TS. ĐẶNG ANH TUẤN Hà Nội - 2019 Lời cảm ơnTôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học,Phòng Sau Đại Học, Phòng Đào tạo, Phòng CTCT - SV, trường Đại học Khoa học Tựnhiên, ĐHQGHN đã tạo điều kiện thuận lời và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũngnhư nghiên cứu.Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, trườngĐHKHTN - ĐHQGHN về sự động viên khích lệ, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập.Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Đặng Anh Tuấn, người đã luôn hướngdẫn, chỉ bảo tận tình, sát sao tôi trong quá trình thực hiện luận văn.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới em Mai Thị Kim Dung, người đã giúp tôi trong việc sửdụng Latex và hoàn thiện trình bày luận văn.Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới người thân, bạn bè những người đã giúp đỡ,động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019. Học viên Nguyễn Thu Hiền 1Mục lụcLời cảm ơn 1Danh mục kí hiệu 3Mở đầu 41 Chuẩn bị 6 1.1 Một số kiến thức giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Không gian Sobolev trên xuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Không gian Sobolev trên B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Bài toán biên elliptic 26 2.1 Phương trình elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Ánh xạ Dirichlet - Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Bài toán Calderón 35 3.1 Ví dụ Alessandrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Mở rộng ví dụ Alessandrini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Một số ví dụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Kết luận 52 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2Danh mục kí hiệu • N : Tập hợp số tự nhiên. • Z+ : Tập hợp số nguyên không âm. • Zn+ : Tập hợp số nguyên không âm n chiều. • α : đa chỉ số, α ∈ Zn+ , α = (α1 , α2 , ..., αn ). • |α| = α1 + α2 + ... + αn . ∂ |α| u • Dα u : được định nghĩa Dα u = . ∂x1 α1 ∂x2 α2 ...∂xn αn • B = {(x1 , x2 ) ∈ R2 |x21 + x22 < 1}, hình tròn đơn vị tâm tại gốc. • Tn là xuyến n chiều, Tn = Rn /2πZn . • S1 = {eiθ |θ ∈ R} ⊂ R2 . • Với A có thể là S1 , B, Tn ta định nghĩa: Z đđ p L (A) = {u : A −−−−−−−→ C| |u(x)|p dx < ∞}, 1 ≤ p < ∞. Lebesgue A • C(S1 ): Không gian các hàm liên tục trên R, tuần hoàn chu kì 2π. • C m (B): Không gian các hàm có đạo hàm tới cấp m liên tục trên B, với ∀|α| ≤ m. ∞ • C ∞ (B): Không gian các hàm khả vi vô hạn trên B, C ∞ (B) = C m (B). T m=0 • C0 (B) = {u ∈ C(B), supp u là tập compact trong B}, supp u = {x ∈ B : u(x) 6= 0}. • C0m (B) = {u ∈ C m (B), supp u là tập compact trong B}. ∞ • C0∞ (B) = C0m (B). T m=0 • C m (B) : Không gian các hàm u có đạo hàm Dα u liên tục đều trên B, ∀|α| ≤ m. ∞ • C ∞ (B) = C m (B). T m=0 • ∇u = (ux1 , ux2 ) , uxj , j = 1, 2 là đạo hàm riêng của u theo xj . 3Mở đầuXét vật thể dẫn điện là một bản mỏng, có thể xem là hình tròn B với tính dẫn γ(x). Giảthiết trên miền B vật thể không có nguồn hoặc tụ. Đặt một điện áp f lên S1 sẽ sinh ramột điện thế u trong B, thỏa mãn bài toán biên Dirichlet  ∇ · (γ∇u) = 0 trong B,  (1) 1 u = f trên S . ...