Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước

Trong luận văn này, tác giả trình bày một số phương pháp đa bước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số 2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành ba chương. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải số phương trình vi phân đại số bằng phương pháp đa bước ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ HẢI DUNGGIẢI SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐA BƯỚC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TSKH. VŨ HOÀNG LINH Hà Nội - 2014Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iLời nói đầu iii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v1 Giới thiệu 1 1.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . 1 1.1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số cao . . . . . . 2 1.2 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân . . . . . 5 1.2.1 Điều kiện ổn định của phương pháp đa bước . . 5 1.2.2 Một số phương pháp đa bước cụ thể . . . . . . . 62 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 19 2.1 Sự hội tụ của phương pháp đa bước . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Một số phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Phương pháp Euler ẩn . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Phương pháp đa bước giải phương trình vi phân đại số chỉ số 2 30 3.1 Sự tồn tại duy nhất của lời giải số . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Ảnh hưởng của nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Sai số địa phương. Sự hội tụ của phương pháp BDF . . 35 iMỤC LỤC 3.3.1 Sai số địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3.2 Sự hội tụ của BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.4 Phương pháp đa bước tổng quát . . . . . . . . . . . . . 39 3.5 Giải hệ phương trình phi tuyến bằng phép lặp Newton . 42 3.6 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 iiLời nói đầu Phương trình vi phân thường đã được nghiên cứu từ lâu, trongkhi đó lý thuyết phương trình vi phân ẩn, trong đó có phương trình viphân đại số, chỉ mới được quan tâm mạnh mẽ trong vòng 30 năm trởlại đây. Phương trình vi phân đại số là bài toán đặt không chỉnh, vì vậycó rất nhiều điểm đặc biệt mà ta không thể tìm thấy ở phương trình viphân thường. Ví dụ như ma trận hệ số là ma trận suy biến, sự tồn tại vàduy nhất nghiệm phụ thuộc vào vế phải,..., khiến việc nghiên cứu nhữngvấn đề định tính cũng như giải số phương trình vi phân đại số trở nênphức tạp hơn nhiều so với phương trình vi phân thường. Phương trình vi phân đại số có nhiều ứng dụng rộng rãi, chúngmô phỏng các hệ động lực có ràng buộc, chẳng hạn như hệ cơ học, hệmạch điện, hệ kỹ thuật hóa học, lý thuyết điều khiển, động lực học chấtlỏng và nhiều lĩnh vực khác. Động thái chuyển động của một đối tượngvật lý thường được mô hình hóa qua hệ phương trình vi phân. Nhưngnếu các trạng thái của hệ thống vật lý chịu một số ràng buộc (về vị trí,năng lượng,...) thì các hạn chế đó được mô tả bởi các phương trình (ràngbuộc) đại số. Những hệ như vậy bao gồm các phương trình vi phân vàphương trình đại số, được gọi là hệ phương trình vi phân đại số. Khái niệm chỉ số được sử dụng trong lý thuyết phương trình viphân đại số để đo độ phức tạp của một phương trình vi phân đại số đốivới phương trình vi phân thường. Chỉ số là một số nguyên không âm,cung cấp thông tin hữu ích về cấu trúc toán học và sự phức tạp trongviệc phân tích hệ phương trình vi phân đại số. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày một số phương pháp đabước để giải phương trình vi phân chỉ số 1 và phương trình vi phân chỉ số2, cụ thể là phương pháp Euler ẩn và phương pháp BDF k bước. Ngoàiphần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thànhba chương: iiiMỤC LỤC Chương 1: Giới thiệuTrình bày phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình vi phânđại số chỉ số cao. Trình bày một số phương ph ...